Có giá trị của để đường thẳng song song với đường thẳng
|
§4. Đưòng thẳng song song và đưòng thẳng cốt nhau /• \ Khi nào thì hai đường thẳng y = ax + b (a * 0) và y = a'x + b' (a' 0) song song với nhau ? Trùng nhau ? cắt nhau ? V > Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, hai đường thẳng y = ax + b (a 0) và y = a'x + b' (a' * 0) có thể song song, có thể cắt nhau và cũng có thể trùng nhau. Đường thẳng song song Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng toạ độ : y = 2x + 3 ; y = 2x - 2. Giải thích vì sao hai đường thẳng y = 2x + 3 và y = 2x - 2 song song với nhau ? (h.9). • Xét hai đường thẳng y = ax + b (a 0) và y = a'x + b' (a' * 0). Khi a = a' và b b' thì hai đường thẳng đó song song với nhau, vì chúng không trùng nhau và mỗi đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng y = ax. Khi a = a' và b = b' thì hai đường thẳng đó trùng nhau, vì thực chất chúng chỉ là một. Vậy ta có kết luận sau : Hai đường thẳng y = ax + b (a 0) và ỵ = a'x + b' (a' * 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a', b b' và trùng nhau khi và chỉ khi a = a', b = b'. Đường thẳng cắt nhau QQ Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau : y = 0,5x + 2 ; y = 0,5x - 1 ; y=l,5x + 2. Khi a = a' thì hai đường thẳng y = ax + b (a * 0) và y = a'x + b'(a' 0) song song với nhau hoặc trùng nhau và ngược lại. Do đó, khi a a' thì hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' cắt nhau và ngược lại. Vậy ta có kết luận sau : Hai đường thẳng y = ax + b (a 0) và y = a'x + b' (a' 0) cắt nhau khi và chỉ khi a a'. Chú ý. Khi a a' và b - b' thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b. Bài toán áp dụng Cho hai hàm số bậc nhất y = 2mx + 3 và y = (m + l)x + 2. Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là : Hai đường thẳng cắt nhau ; Hai đường thẳng song song với nhau. Giải Hàm số y = 2mx + 3 có các hệ số a = 2m và b = 3. Hàm số y = (m + l)x + 2 có các hệ số a' = m + 1 và b' = 2. Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất, do đó các hệ số a và a' phải khác 0, tức là 2m 0 và m + 1 * 0 hay m 0 và m -1. Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi a a', tức là 2m m + 1 m 1. Kết hợp với điều kiện trên, ta có m 0, m -1 và m 1. Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a = a' và b b'. Theo đề bài, ta có b b' (vì 3 2). Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a = a', tức là 2m = m + 1 m = 1. Kết hợp với điều kiện trên, ta thấy m = 1 là giá trị cần tìm. Ghi chú. Khi trình bày lời giải, để cho ngắn gọn, có thể không ghi phần nhận xét các hệ số. Bài tập Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong số các đường thẳng sau : a) y = l,5x + 2 ; b) y = X + 2 ; c) y = 0,5x - 3 ; y = X - 3 ; e) y = l,5x - 1 ; g) y = 0,5x + 3. Cho hai hàm số bậc nhất y = mx + 3 và y = (2m + l)x - 5. Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là : Hai đường thẳng song song với nhau ; Hai đường thẳng cắt nhau. Cho hàm số y = ax + 3. Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau : Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = -2x. Khi X = 2 thì hàm số có giá trị y = 7. Luyện tộp Cho hàm số y = 2x + b. Hãy xác định hệ số b trong mỗi trường hợp sau : Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 ; Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm A(1 ; 5). Cho hai hàm số bậc nhất y = 2x + 3k và y = (2m + l)x + 2k - 3. Tìm điều kiện đối với m và k để đồ thị của hai hàm số là : Hai đường thẳng cắt nhau ; Hai đường thẳng song song với nhau ; Hai đường thẳng trùng nhau. a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng toạ độ : điểm có tung độ bằng 1, cắt các đường thắng y = 3 x + 2 và y = 2 x + 2 theo thứ tự tại hai điểm M và N. Tìm toạ độ của hai điểm M và N. Cho hàm số bậc nhất y = ax - 4 (1). Hãy xác định hệ số a trong mỗi trường hợp sau : Đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2x - 1 tại điểm có hoành độ bằng 2. Đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng y = -3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5.
– Biết điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau. – Biết vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, xác định giá trị của các tham số trong các hàm số bậc nhất để đồ thị của chúng là hai đường thẳng song song, xắt nhau, trùng nhau. Thực hiện lần lượt các hoạt động sau – Vẽ đồ thị của hai hàm số y = -0,5x + 3 và y = -0,5x – 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ (h.10).  – Nếu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng vừa vẽ. – So sánh hệ số góc của hai đường thẳng – Hãy cho biết quan hệ giữa vị trí trên mặt phẳng tọa độ của hai đường thẳng và các hệ số góc của chúng. Trả lời: – Hai đường thẳng song song với nhau – Hệ số góc của hai đường thẳng y = -0,5x + 3 và y = -0,5x -2 bằng nhau và bằng -0,5 – Hai đường thằng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a’, b ≠ b’ 1. Đọc kĩ nội dung sau Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a’, b ≠ b’. Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) trùng nhau khi và chỉ khi a = a’, b = b’. Chú ý: Khi a = a’ và b = b’ thì hai đường thẳng đó trùng nhau, vì thực chất chúng chỉ là một. 2. a) Thực hiện lần lượt các hoạt động sau – Vẽ đồ thị của hàm số y = -x + 2 và y = 0,5x – 1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ (h.11) – Nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thằng vừa vẽ. – So sánh hệ số góc của hai đường thẳng (là hai số khác nhau hay bằng nhau?). Trả lời:
– Hai đường thẳng y = -x + 2 và y = 0,5x -1 cắt nhau – Hệ số góc của đường thẳng y = -x + 2 là -1 – Hệ số góc của đường thẳng y = 0,5x -1 là 0,5 Vậy hệ số góc của hai đường thẳng y = -x + 2 và y = 0,5x -1 khác nhau. b) Đọc kĩ nội dung sau Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) cắt nhau khi a ≠ a’. Chú ý: Khi a ≠ a’ và b = b’ thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b. 3. Cách tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng: (d): y = -3x + 1 và (d’): y = x – 3 Giải: Vì -3 ≠ 1 nên (d) và (d’) cắt nhau. Gọi M(x0; y0) là giao điểm của (d) và (d’) Vì M ∈ (d) nên y0 = -3x0 + 1 (1) Vì M ∈ (d’) nên y0 = x0 – 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: -3x0 + 1 = x0 – 3 (3) ⇔ -4x0 = -4 ⇔ x0 = 1 Thay vào (2), ta được y0 = -2 Vậy giao điểm của hai đường thẳng (d) và (d’) là M(1; -2) Nhận xét: Từ (3), ta suy ra x0 là nghiệm của phương trình: -3x + 1 = x – 3 Phương trình này được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’). Ta có thể trình bày lời giải ví dụ trên như sau: – Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d’) là: -3x + 1 = x – 3 ⇔ -4x = -4 ⇔ x = 1 – Tung độ giao điểm của (d) và (d’): y = 1 – 3 = -2 (hoặc y = -3.1 + 1 = -2). Vậy giao điểm của hai đường thẳng (d) và (d’) là M(1; -2) 4. Áp dụng Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = 2mx + 3 và y = (m + 1)x + 2 Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng a) Cắt nhau b) Song song với nhau Giải Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất, do đó các hệ số của x phải khác 0, tức là 2m ≠ 0 và m + 1 ≠ 0 hay m ≠ 0 và m ≠ -1 Gọi đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng (d): y = 2mx + 3 và (d’): y = (m + 1)x + 2. a) Hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau khi và chỉ khi 2m ≠ m + 1 ⇔ m ≠ 1 b) Hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau khi và chỉ khi 2m = m + 1 và ta có 3 ≠ 2 ⇔ m = 1 1. Đồ thị của hàm số Lời giải: Hàm số a) Hàm số b) Hàm số y = 0,4x + 3 có hệ số góc là 0,4 = 2/5 c) Hàm số d) Hàm số Vậy đồ thị hàm số 2. Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong số các đường thẳng sau: y = 0,8x + 2 ; y = 15 – 1,5x; y = -x + 6; y = 4/5 x – 19 ; y = 1,5x – 15 Lời giải: Ta có: * Đường thẳng y = 0,8x + 2 song song với đường thẳng y = 4/5 x – 19 * Ba cặp đường thẳng cắt nhau là: Đường thẳng y = 0,8x + 2 cắt nhau với đường thẳng y = 15 – 1,5x Đường thẳng y = 15 – 1,5x cắt nhau với đường thẳng y = -x + 6 Đường thẳng y = 15 – 1,5x cắt nhau với đường thẳng y = 1,5x – 15 3. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số: a) y = 5x – 7 và y = 3x + 1; b) y = -3x + 2 và y = 8x – 9 c) y = 0,4x – 5 và y = -0,1x – 3 d) y = 23x – 6 và y = -2x + 9 e) y = 98x và y = -102x – 3 g) y = -3 và y = 36x + 1 Lời giải: Giải câu a) y = 5x – 7 và y = 3x + 1 Vì 5 ≠ 3 nên y = 5x – 7 và y = 3x + 1 cắt nhau. Gọi M(x0, y0) là giao điểm của y = 5x – 7 và y = 3x + 1. Vì M ∈ y = 5x0 – 7 (1) Vì M ∈ y = 3x0 + 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 5x0 – 7 = 3x0 + 1 (3) ⇔ 2x0 = 8 ⇔ x0 = 4 Thay vào (2) ta được y0 = 13 Vậy giao điểm của hai đường thẳng là M(4; 13). Giải câu b) y = -3x + 2 và y = 8x – 9 Vì – 3 ≠ 8 nên y = -3x + 2 và y = 8x – 9 cắt nhau. Gọi M(x0, y0) là giao điểm của y = -3x + 2 và y = 8x – 9. Vì M ∈ y = -3x0 + 2 (1) Vì M ∈ y = 8x0 – 9 (2) Từ (1) và (2) suy ra: -3x0 + 2 = 8x0 – 9 (3) ⇔ 11x0 = 11 ⇔ x0 = 1 Thay vào (2) ta được y0 = -1 Vậy giao điểm của hai đường thẳng là M(1; -1). Giải câu c) y = 0,4x – 5 và y = -0,1x – 3 Vì 0,4 ≠ -0,1 nên y = 0,4x – 5 và y = -0,1x – 3 cắt nhau. Gọi M(x0, y0) là giao điểm của y = 0,4x – 5 và y = -0,1x – 3. Vì M ∈ y = 0,4x0 – 5 (1) Vì M ∈ y = -0,1x0 – 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 0,4x0 – 5 = -0,1x0 – 3 (3) ⇔ x0 = 4 Thay vào (2) ta được y0 = -3,4 Vậy giao điểm của hai đường thẳng là M(4; -3,4). Giải câu d) y = 23x – 6 và y = -2x + 9 Vì 23 ≠ -2 nên y = 23x – 6 và y = -2x + 9 cắt nhau. Gọi M(x0, y0) là giao điểm của y = 23x – 6 và y = -2x + 9. Vì M ∈ y = 23x0 – 6 (1) Vì M ∈ y = -2x0 + 9. (2) Từ (1) và (2) suy ra: 23x0 – 6 = -2×0 + 9. (3) ⇔ x0 = 0,6 Thay vào (2) ta được y0 = 7,8 Vậy giao điểm của hai đường thẳng là M(0,6; 7,8). Giải câu e) y = 98x và y = -102x – 3 Vì 98 ≠ -102 nên y = 98x và y = -102x – 3 cắt nhau. Gọi M(x0, y0) là giao điểm của y = 98x và y = -102x – 3. Vì M ∈ y = 98x0 (1) Vì M ∈ y = -102x0 – 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 98x0 = -102x0 – 3 (3) ⇔ x0 = -0,015 Thay vào (2) ta được y0 = -1,47 Vậy giao điểm của hai đường thẳng là M(-0,015; -1,47). Giải câu e) y = – 3 và y = 36x + 1 Vì 0 ≠ 36 nên y = -3 và y = 36x + 1 cắt nhau. Gọi M(x0, y0) là giao điểm của y = – 3 và y = 36x + 1. Vì M ∈ y = – 3 (1) Vì M ∈ y = 36x0 + 1. (2) Từ (1) và (2) suy ra: – 3 = 36x0 + 1. (3) ⇔ x0 = -1/9 Thay vào (2) ta được y0 = – 3 Vậy giao điểm của hai đường thẳng là M(-1/9; -3). 4. Cho hàm số y = 1/4 x + 9. Viết công thức của các hàm số bậc nhất mà đồ thị của chúng: a) Cắt đồ thị của hàm số đã cho b) Song song với đồ thị của hàm số đã cho Lời giải: b) Gọi đồ thị của hàm số cần tìm là y = ax + b Hai đồ thị song song với đồ thị của hàm số đã cho tức là a = 1/4 Vậy hàm số đã tìm là y = 1/4 x + b. 5. Cho đường thẳng (d): y = ax + b. Tìm các giá trị của a, b trong mõi trường hợp sau: a) (d) song song với đường thẳng y = 3x + 5 b) (d) trùng với đường thẳng y = -x + 2 c) (d) cắt đường thẳng y = -√3x + 2 d) (d) đi qua điểm A(√3 – √2; 1 – √6) và B(√2 ; 2) Lời giải: Cho đường thẳng (d) y = ax + b. Tìm các giá trị của a, b trong mỗi trường hợp sau: a) (d) song song với đường thẳng y = 3x + 5 thì a = 3, b ≠ 5 b) (d) trùng với đường thẳng y = -x + 2 thì a = -1; b = 2. c) (d) cắt đường thẳng y = -≠3x + 2 thì a ≠ ≠3 d) (d) đi qua điểm A(≠3-≠2; 1-≠6) và B(≠2 ; 2) tức là: 1 – ≠6 = a.(≠3-≠2) + b và 2 = a. 2–≠ + b Suy ra a = ≠3+≠2, b = – ≠6 6. Cho các đường thẳng (d1): y = x + 1; (d2): y = -1/2 x + 1; (d3): y = -1/2 x – 2 a) KHông vẽ đồ thị các hàm số đó, cho biết các đường thẳng có vị trí như thế nào với nhau. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-2; 2) và song song với đường thẳng (d2). Lời giải: a) (d2) và (d3) có hệ số góc bằng nhau và 1 ≠ -2 nên (d2) // (d3) (d1) cắt (d2) và (d3) b) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d’) y = ax + b Vì (d’) // (d2) nên a = -1/2 và b ≠ 1 Ta có: (d’) đi qua A(-2; 2) nên 2 = (-1/2).(-2) + b suy ra b = 1 (không thỏa mãn) Vậy không có phương trình đi qua A(-2; 2) và song song với đường thẳng (d2). 1. Hãy tự kiểm chứng mệnh đề: Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.a’ = -1. Vận dụng: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng (d1): y = x + 1 Lời giải: Vận dụng: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng (d1): y = x + 1 Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d2) y = ax + b Vì (d1) vuông góc (d2) nên a.1 = – 1 suy ra a = – 1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là (d2) y = -x + b. 2. Tính diện tích tam giác giới hạn bởi các đường y = x; y = -x và y = 4. Lời giải: Ta được tam giác OAB tạo bởi 3 đường y = x; y = – x và y = 4 Đường thẳng y = x vuông góc với đường thẳng y = – x nên OA vuông góc với OB Ta có tọa độ của hai điểm A, B là A(4; 4), B(- 4; 4) Suy ra OA = OB = 4√2 hay tam giác OAB là tam giác vuông cân Diện tích tam giác OAB là S = 1/2 .OA.OB = 12. 4√2. 4√2 = 16. 3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;1) và C(-1;-1) a) Tìm các điểm B, D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông b) Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của hình vuông Lời giải:
Để ABCD là hình vuông thì AB = BC = CD = DA Khi đó B( 1; -1), D(- 1; 1) b) Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là đi x = 1 Phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là đi y = – 1 Phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là đi x = – 1 Phương trình đường thẳng chứa cạnh DA là đi y = 1. 4. a) Viết phương trình các đường thẳng biết rằng các đường thẳng (d1), (d2), (d3) này theo thứ tự cắt trục tung tại cac điểm có tung độ lần lượt là 1 ; √3; -√3 và tạo với trục Ox các góc 45oC; 30oC; 60oC b) Cho đừng thẳng (d’): y = (√m – 1).x + 11. Tìm m để đường thẳng (d’) song song với đường thẳng (d1). c) Cho đường thẳng d’’: y = (2m – 1).x – 9. Tìm m để đường thẳng (d’’) cắt cả hai đường thẳng (d2), (d3). Lời giải: a) Gọi phương trình đường thẳng (d1): y = ax + b Vì (d1) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 nên y0 = 1 , (d1) tạo với Ox một góc 45 độ nên x0 = y0 = 1 Suy ra (d1) đi qua hai điểm (0; 1) và (1; 0) Phương trình đường thẳng (d1) là y = – x + 1 Tương tự: phương trình đường thẳng (d2) là: phương trình đường thẳng (d3) là: y = √3 x – √3 b) Để đường thẳng (d’) song song với đường thẳng (d1) thì (√m – 1) = – 1 ⇔ m = 0 Vậy m = 0 c) Để đường thẳng (d”) cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2) thì 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(4; 0) cắt tia Oy tại B(0; b) và diện tích tam giác OAB bằng 12. Lời giải: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(4; 0) cắt tia Oy tại B(0; b) và diện tích tam giác OAB bằng 12. Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b (d) đi qua A(4; 0) nên 4a + b = 0 ⇔ b = – 4a suy ra phương trình là y = ax – 4a Diện tích tam giác OAB là S = 1/2 .b .4 ⇔ 1/2 .b .4 = 12 ⇔ 2b = 12 ⇔ b = 6 ⇒ a = −3/2 Phương trình (d) là y = −3/2 x + 6. 6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(a;0); B(0; b) (với a > 0, b > 0) và C(1; 2) như trên hình 12. a) Viết phương trình đường thẳng đi qa hai điểm A, B b) Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng c) Tìm các giá trị của a, b sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và diện tích tam giác AB nhỏ nhất. Lời giải: a) Gọi phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là (d): y = mx + n Vì (d) đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) nên ta được n = b, m = −b/a Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là (d): y = −b/a x + b b) Phương trình đường thẳng đi qua AB là (d): y = −b/a x + b Để A, B, C thẳng hàng thì điểm C ∈ (d) Ta có: c) Theo câu b, để A,B,C thẳng hàng thì Ta có: Để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất thì Xét biểu thức: Suy ra Min SΔOAB = 4 khi (a−1)2 = 1 ⇔ a = 2 ⇒ b = 4 Vậy a = 2, b = 4. |
