Đề bài
Cho hai đường kính vuông góc AB và CD của đường tròn [O; R]. Gọi I là một điểm trên cung nhỏ AC sao cho tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài tại M và IC = CM.
a] Tính \[\widehat {AOI}\] .
b] Tính độ dài đoạn OM theo R.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh tam giác OCI có \[\widehat {CIO} = \widehat {COI}\], từ đó suy ra tam giác OCI đều.
Sử dụng tính chất cộng góc \[\widehat {AOI} + \widehat {COI} = {90^0}\].
b] Chứng minh \[CM = CO\].
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác CMI có \[CI = CM\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow \Delta CIM\] cân tại C \[ \Rightarrow \widehat {CIM} = \widehat {CMI}\] [hai góc ở đáy].
Mà \[\widehat {CIM} + \widehat {CIO} = \widehat {MIO} = {90^0}\].
\[\widehat {CMI} + \widehat {COI} = {90^0}\] [hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau]
\[ \Rightarrow \widehat {CIO} = \widehat {COI} \Rightarrow \Delta CIO\] cân tại C \[ \Rightarrow CO = CI\]. Mà \[CO = OI = R \] \[\Rightarrow CO = OI = CI = R\] \[ \Rightarrow \Delta CIO\] đều \[ \Rightarrow \widehat {COI} = {60^0}\].
Mà \[\widehat {AOI} + \widehat {COI} = \widehat {AOM} = {90^0}\]
\[ \Rightarrow \widehat {AOI} = {90^0} - \widehat {COI} \]\[\,= {90^0} - {60^0} = {30^0}\].
b] Ta có \[CM = CI = CO = R\,\,\left[ {cmt} \right] \] \[\Rightarrow OM = OC + CM = 2R\].