Đề bài
Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau:
a] \[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\x + 2y = 1\end{array} \right.\]
b] \[\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 8\\x - \dfrac{1}{4}y = 2\end{array} \right.\]
c] \[\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 1\\2x + y = 2\end{array} \right.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right.\]
\[{a_1}x + {b_1}y = {c_1} \]\[\;\Rightarrow y = \dfrac{{ - {a_1}}}{{{b_1}}}x + \dfrac{{{c_1}}}{{{b_1}}}\,\,\left[ {{d_1}} \right];\]\[\,\,{a_2}x + {b_2}y = {c_2} \]
\[\Leftrightarrow y = \dfrac{{ - {a_2}}}{{{b_2}}}x + \dfrac{{{c_2}}}{{{b_2}}}\,\,\left[ {{d_2}} \right]\].
Nhận xét vị trí tương đối của hai đường thẳng [d1] và [d2].
Số giao điểm của hai đường thẳng [d1] và [d2] cũng chính là số nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
\[a]\,\,\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\x + 2y = 1\end{array} \right.\]
\[ - 2x + y = 3 \]\[\Leftrightarrow y = 2x + 3\,\,\left[ {{d_1}} \right]\];
\[x + 2y = 1\]\[\Leftrightarrow 2y = - x + 1 \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}x + \dfrac{1}{2}\,\,\left[ {{d_2}} \right]\]
Ta có: \[{a_1} = 2;\,\,{a_2} = \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow {a_1} \ne {a_2} \Rightarrow \] Hai đường thẳng [d1] và [d2] cắt nhau tại 1 điểm.
Vậy hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 3\\x + 2y = 1\end{array} \right.\]có 1 nghiệm duy nhất.
b] \[\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 8\\x - \dfrac{1}{4}y = 2\end{array} \right.\]
\[4x - y = 8 \Leftrightarrow y = 4x - 8\,\,\left[ {{d_1}} \right]\];
\[x - \dfrac{1}{4}y = 2 \]\[\,\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}y = x - 2 \Leftrightarrow y = 4x - 8\,\,\left[ {{d_2}} \right]\]
Ta có: \[\left[ {{d_1}} \right] \equiv \left[ {{d_2}} \right] \Rightarrow \] Hai đường thẳng [d1] và [d2] cắt nhau tại vô số điểm.
Vậy hệ \[\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 8\\x - \dfrac{1}{4}y = 2\end{array} \right.\]có vô số nghiệm.
c] \[\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 1\\2x + y = 2\end{array} \right.\]
\[4x + 2y = 1 \]\[\,\Leftrightarrow 2y = - 4x + 1 \]\[\,\Leftrightarrow y = - 2x + \dfrac{1}{2}\,\,\left[ {{d_1}} \right];\]
\[\,\,2x + y = 2 \Leftrightarrow y = - 2x + 2\,\,\left[ {{d_2}} \right]\]
Ta có [d1] // [d2], do đó hai đường thẳng [d1] và [d2] không cắt nhau. Vậy hệ phương trình trên vô nghiệm.