Đề bài
Cho tam giác \[ABC,\] đường trung tuyến \[AM.\] Gọi \[O\] là trung điểm của \[AM.\] Qua \[O\] kẻ đường thẳng \[d\] cắt các cạnh \[AB\] và \[AC.\] Gọi \[AA, BB, CC\] là các đường vuông góc kẻ từ \[A, B, C\] đến đường thẳng \[d.\] Chứng minh rằng: \[{{AA' = }}\displaystyle {{BB' + CC'} \over 2}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
+] Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[BB d\;\; [gt]\]
\[CC d\;\; [gt]\]
Suy ra: \[BB // CC\]
Tứ giác \[BBCC\] là hình thang
Kẻ \[MM d\]
\[ MM // BB // CC\]
Ta lại có: \[M\] là trung điểm của \[BC\] [do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC]
Nên \[MM\] là đường trung bình của hình thang \[BBCC\]
\[ \Rightarrow MM' = \displaystyle{{BB' + CC'} \over 2}\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Xét tam giác vuông \[AAO\] và tam giác vuông \[MMO:\]
\[\widehat {OA'A} = \widehat {OM'M}=90^0\]
\[AO = MO \;\;[gt]\]
\[\widehat {AOA'} = \widehat {MOM'}\][đối đỉnh]
Do đó: \[ AAO = MMO\] [cạnh huyền, góc nhọn]
\[ AA = MM \;\;\;[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[{{AA' = }}\displaystyle{{BB' + CC'} \over 2}\].