Đề bài
Cho tam giác \[ABC.\] Dựng đường thẳng song song với \[BC,\] cắt cạnh \[AB\] ở \[E,\] cắt cạnh \[AC\] ở \[F\] sao cho \[BE = AF.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đòng thời thể diện các nét dựng trên hình vẽ.
+] Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
Lời giải chi tiết
Cách dựng:
- Dựng đường phân giác \[AD\] của góc BAC.
- Qua \[D\] dựng đường thẳng song song \[AB\] cắt \[AC\] tại \[F.\]
- Qua \[F\] dựng đường thẳng song song với \[BC\] cắt \[AB\] tại \[E.\]
Ta có điểm \[E, F\] cần dựng.
Chứng minh:
Vì \[DF // AB\]
\[ \Rightarrow {\widehat {EAD}} = {\widehat {ADF}}\] [so le trong]
\[{\widehat {EAD}} = {\widehat {FAD}}\] [vì AD là tia phân giác của góc BAC]
Suy ra: \[{\widehat {ADF}} = {\widehat {FAD}}\]
\[AFD\] cân tại \[F\]
\[AF = DF \;\;[1]\]
Ta có: \[DF // AB\] hay \[DF // BE\]
\[EF // BC\] hay \[EF // BD\]
Suy ra tứ giác \[BDFE\] là hình bình hành [định nghĩa]
\[BE = DF\;\; [2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[AF = BE\]