- LG câu a
- LG câu b
Chứng minh:
LG câu a
\[ \displaystyle{{\left[ {x\sqrt y + y\sqrt x } \right]\left[ {\sqrt x - \sqrt y } \right]} \over {\sqrt {xy} }} = x - y\] với \[x > 0\] và \[y > 0\];
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[[a - b][a + b] = {a^2} - {b^2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[ \displaystyle{{\left[ {x\sqrt y + y\sqrt x } \right]\left[ {\sqrt x - \sqrt y } \right]} \over {\sqrt {xy} }}\]\[\displaystyle = {{\left[ {\sqrt {{x^2}y} + \sqrt {x{y^2}} } \right]\left[ {\sqrt x - \sqrt y } \right]} \over {\sqrt {xy} }}\]
\[ \displaystyle = {{\sqrt {xy} \left[ {\sqrt x + \sqrt y } \right]\left[ {\sqrt x - \sqrt y } \right]} \over {\sqrt {xy} }}\]\[\displaystyle = \left[ {\sqrt x + \sqrt y } \right]\left[ {\sqrt x - \sqrt y } \right]\]
\[ \displaystyle = {\left[ {\sqrt x } \right]^2} - {\left[ {\sqrt y } \right]^2} = x - y\]
[với \[x > 0\] và \[y > 0\]]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
LG câu b
\[ \displaystyle{{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x - 1}} = x + \sqrt x + 1\] với \[x \ge 0\] và \[x \ne 1\].
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[{a^3} - {b^3} = [a - b][{a^2} + ab + {b^2}]\]
Lời giải chi tiết:
Vì \[x \ge 0\] nên \[ \displaystyle\sqrt {{x^3}} = {\left[ {\sqrt x } \right]^3}\]
Ta có:
\[ \displaystyle{{\sqrt {{x^3}} - 1} \over {\sqrt x - 1}} = {{{{\left[ {\sqrt x } \right]}^3} - {1^3}} \over {\sqrt x - 1}}\]\[\displaystyle = {{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]} \over {\sqrt x - 1}}\]
\[ \displaystyle = x + \sqrt x + 1\] với \[x \ge 0\] và \[ x \ne 1\].
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.