Đề bài
Tam giác \[ABC\] cân tại \[A\], \[BC = 12cm\], đường cao \[AH = 4cm\]. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của tam giác.
+ Xét tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH:
- Áp dụng định lí Pytago:\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\]
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông:\[A{H^2} = BH.HC\]
Lời giải chi tiết
Kéo dài đường cao \[AH\] cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] tại \[D\]. Gọi \[O\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC.\]
Vì tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] nên \[AH\] vừa là đường cao vừa là đường trung trực của \[BC\].
Suy ra \[AD\] là đường trung trực của \[BC\] và H là trung điểm của BC.
Khi đó\[O\] thuộc\[AD\] hay\[AD\] là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
Tam giác \[ACD\] nội tiếp trong [O] có\[AD\] là đường kính suy ra: \[\widehat {ACD} = 90^\circ \]
Tam giác \[ACD\] vuông tại \[C\] nên theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: \[C{H^2} = HA.HD\]
Suy ra: \[HD = \dfrac{{C{H^2}}}{{HA}} =\dfrac{{{{\left[ {\dfrac{{BC}}{2}} \right]}^2}}}{{HA}}\]\[ = \dfrac{{{{\left[ {\dfrac{{12}}{2}} \right]}^2}}}{4} = \dfrac{{{6^2}}}{4} = \dfrac{{36}}{4} = 9\]
Ta có:
\[AD = AH +HD = 4 + 9 = 13\] [cm]
Vậy bán kính của đường tròn [O] là:
\[R = \dfrac{{AD}}{ 2} = \dfrac{{13}}{2} = 6,5\] [cm]
com