Đề bài
Tứ giác \[ABCD\] có \[AB CD.\] Gọi \[E,\, F,\, G,\, H\] theo thứ tự là trung điểm của \[BC,\, BD,\, AD,\, AC.\] Chứng minh rằng \[EG = FH.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
+] Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
Trong \[ BCD\] ta có:
\[E\] là trung điểm của \[BC\] [gt]
\[F\] là trung điểm của \[BD\] [gt]
nên \[EF\] là đường trung bình của \[ BCD\]
\[ EF // CD\] và \[EF= \dfrac{1}{2}CD\] [1]
Trong \[ ACD\] ta có:
\[H\] là trung điểm của \[AC\] [gt]
\[G\] là trung điểm của \[AD\] [gt]
nên \[HG\] là đường trung bình của \[ ACD\]
\[ HG // CD\] và \[HG = \dfrac{1}{2}CD\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[EF // HG\] và \[EF = HG\]
Suy ra tứ giác \[EFGH\] là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
Mặt khác: \[EF // CD\] [chứng minh trên]
\[AB CD\] [gt]
Suy ra \[EF AB\]
Trong \[ ABC\] ta có \[HE\] là đường trung bình [do H là trung điểm của AC và E là trung điểm của BC]
\[ HE // AB\]
Suy ra: \[HE EF\] hay \[\widehat {FEH} = {90^0}\]
Vậy hình bình hành \[EFGH\] là hình chữ nhật.
Do đó \[EG=FH\] [tính chất hình chữ nhật].