Đề bài
Cho đường thẳng d đi qua điểm M[0;0;1], có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow u [1;1;3]\] và mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] có phương trình 2x+y-z+5=0. Chứng minh d song song với \[\left[ \alpha \right]\]. Tính khoảng cách giữa d và \[\left[ \alpha \right]\].
Lời giải chi tiết
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \[\overrightarrow u \] = [1; 1; 3], vec tơ pháp tuyến của mp[\[\alpha \]] là \[\overrightarrow n \] = [2; 1; -1].
Vì \[\overrightarrow n \].\[\overrightarrow u \] = 0 nên \[\overrightarrow n \bot \overrightarrow u \]. Dễ thấy \[M \notin [\alpha ].\]
Do đó \[d\] // [\[\alpha \]].
Khoảng cách từ M tới [\[\alpha \]] bằng khoảng cách giữa d và \[[\alpha ]\] nên
\[d[d,[\alpha ]] = {{\left| { - 1 + 5} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = {4 \over {\sqrt 6 }} = {{2\sqrt 6 } \over 3}.\]