Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng [P] di động luôn song song với AB và CD lần lượt cắt các cạnh AC, AD, BD, BC tại M, N, E, F.
a] Chứng minh rằng tứ giác MNEF là một hình bình hành.
b] Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[\eqalign{
& AB//\left[ P \right],\,AB \subset \left[ {ABC} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {ABC} \right] \cap \left[ P \right] = MF//AB \cr} \]
Và
\[\eqalign{
& AB//\left[ P \right],\,AB \subset \left[ {ABD} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {ABD} \right] \cap \left[ P \right] = NE//AB. \cr} \]
Vậy MF//NE//AB.
Chứng minh tương tự ta có: MN//EF//CD.
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác MNEF là hình bình hành.
b] Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Gọi J và L lần lượt là các giao điểm của các cặp đường thẳng CH và MF, DH và NE thì rõ ràng ba điểm J, I, L thẳng hàng. Vậy khi [P] di động thì tâm I của hình bình hành MNEF chạy trên đoạn thẳng HK.
Ngược lại, lấy một điểm I bất kì trên đoạn HK. Qua I kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt CH và DH tại J và L. Qua J và L lần lượt kẻ hai đường thẳng MF [\[\left[ {M \in AC,F \in BC} \right],\,NE\left[ {N \in AD,\,E \in BD} \right]\] cùng song song với AB. Dễ thấy tứ giác MNEF là hình bình hành và có tâm I. Vậy tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF là đoạn thẳng HK.