Đề bài
Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4{m^2} \le 2mx + 1}\\{3{x} + 2 > 2{x} - 1}\end{array}} \right.\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\left[ I \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4{m^2} \le 2m{x} + 1}\\{3{x} + 2 > 2{x} - 1}\end{array}} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1 - 2m} \right]x \le 1 - 4{m^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]}\\{x > - 3.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]}\end{array}} \right.\]
Nếu \[m < \dfrac{1}{2}\] thì \[\,\left[ 1 \right] \Leftrightarrow x \le 1 + 2m,\] nên hệ [I] có nghiệm khi \[ - 3 < 1 + 2m,\] hay \[m > -2\]. Kết hợp với điều kiện \[m < \dfrac{1}{2},\] ta có \[ - 2 < m < \dfrac{1}{2}.\]
Nếu \[m = \dfrac{1}{2}\] thì [1] có dạng \[0.x 0\] [luôn đúng với mọi x R], nên hệ [I] luôn có nghiệm \[x > -3.\]
Nếu \[m > \dfrac{1}{2}\] thì \[[1] x 1 + 2m\], nên hệ [I] luôn có nghiệm \[x 1 + 2m.\]
Vậy khi \[m > -2\] thì hệ [I] luôn có nghiệm.