Đề bài
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AM khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Các điểm cách đường thẳng \[b\] một khoảng bằng \[h\] nằm trên hai đường thẳng song song với \[b\] và cách \[b\] một khoảng bằng \[h.\]
Lời giải chi tiết
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM.
Kẻ IK, AH vuông góc với d \[\left[ {K,H \in d} \right]\] .
Ta có \[IK//AH\] nên IK là đường trung bình của tam giác AHM
\[ \Rightarrow IK = \dfrac{1 }{2}AH.\]
A, d cho trước nên khoảng cách từ A đến d là AH không đổi \[ \Rightarrow IK\] không đổi mà \[K \in d \Rightarrow I\] thuộc đường thẳng \[d'\] song song với d và cách d một khoảng bằng \[\dfrac{{AH} }{ 2}.\]
Bây giờ lấy điểm \[I'\] thuộc \[d'\], \[AI'\]cắt d tại \[M'\]. Vì \[I'H'//M'H\] và \[H'\] là trung điểm của AH nên \[H'I'\] là đường trung bình của \[\Delta AH'M \Rightarrow I'A = I'M'\] .
Vậy tập hợp các trung điểm I của đoạn AM khi M di động trên đường thẳng d là đường thẳng \[D'//d\] và cách d một đoạn bằng \[\dfrac{{AH} }{ 2}\] [AH là khoảng cách từ A đến d].