Nghiệm của phương trình x + y + z = 3

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:

Mỗi bộ ba số (x0;y0;z0) là nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình . Chẳng hạn,

Việc giải hệ phương trình dạng tam giác này rất đơn giản. Từ phương trình cuối tính được z rồi thay vào phương trình thứ hai ta tính được y và cuối cùng thay z và y tính được vào phương trình đầu sẽ tính được x.

Chú ý: Mọi hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn đều biến đổi được về dạng tam giác, bằng phương pháp khử dần ẩn số(*).

Dạng 1. Giải hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải hệ

Lời giải

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ (6) với -2 rồi cộng vào phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng, nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4 rồi cộng vào phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình (đã khử x ở hai phương trình cuối)

Vậy hệ có một nghiệm là:

Ví dụ 2: Hệ phương trình

$\left\{ \begin{align}& x+y+z=3 \\& 2x-y+2z=-3 \\& x-3y-3z=-5 \\\end{align} \right.$

có nghiệm là:

A. (1; 3;–1)         B. (1; 3;–2)           C. (1; 2; –1)            D. (1; –3; –1)

Lời giải

Chọn A.

Giải tự luận:

Cách 1:

Cộng phương trình thứ nhất và thứ hai theo vế, ta được hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{align}& x+y+z=3 \\& 3x+3z=0 \\& x-3y-3z=-5 \\\end{align} \right.$

Nhân hai vế phương trình đầu với 3, xong đem cộngtheo vế với phương trình cuối, ta được hệ

$\left\{ \begin{align}& x+y+z=3 \\& x+z=0 \\& 4x=4 \\\end{align} \right.$

Từ phương trình cuối ta có $x=1,$ thay vào phương trình hai tính được $z=-1.$ thay đồng thời  vào phương trình đầu thì $y=3.$ Vậy nghiệm của hệ là $(1;\,3;\,-1).$

Cách 2:Rút ẩn từ một phương trình thay vào hai phương trình còn lại.

Từ phương trình đầu ta rút được $z=3-x-y,$ đem thay vào hai phương trình còn lại ta được hệ:

\[\left\{ \begin{align}& z=3-x-y \\& 2x-y+2z=-3 \\& x-3y-3z=-5 \\\end{align} \right.\]

Thế phương trình đầu vào hai phương trình sau ta có hệ:

\[\left\{ \begin{align}& z=3-x-y \\& -3y=-9 \\& 4x=4 \\\end{align} \right.\]

Từ hai phương trình cuối dễ tính được $x=1,\,y=3.$Thay vào phương trình đầu được $z=-1.$

Vậy nghiệm của hệ là $(1;\,3;\,-1).$

Giải trắc nghiệm:

Bấm máy tính  Chọn A.

Dạng 2 : Tìm điềm kiện của tham số để hệ ba phương trình bậc nhất 3 ẩn có nghiệm thỏa điều kiện cho trước ?

Phương pháp giải:

Hệ có dạng: \[\left\{ \begin{align}& {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z={{d}_{1}} \\ & {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z={{d}_{2}} \\ & {{a}_{3}}x+{{b}_{3}}y+{{c}_{3}}z={{d}_{3}} \\\end{align} \right.\cdot \] Một nghiệm của hệ là bộ 3 số $({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})$ thỏa cả 3 phương trình của hệ. Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + \left( {m + 1} \right)z = 2}&{(1)}\\ \begin{array}{l} 3x + 4y + 2z = m + 1\\ 2x + 3y – z = 1 \end{array}&\begin{array}{l} (2)\\ (3) \end{array}

\end{array}} \right.$