Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với mặt phẳng
|
Trong không gian $Oxyz$, tìm phương trình tham số trục $Oz$? Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc trục $Oy$? Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{1} = \dfrac{{z - 5}}{{ - 2}}\) và các điểm \(A\left( {3 + m;\,\,4 + m;\,\,5 - 2m} \right)\), \(B\left( {4 - n;\,\,5 - n;\,\,3 + 2n} \right)\) với \(m,\,\,n\) là các số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đã gửi 25-12-2016 - 21:59
GS phương trình mặt phẳng là: $ax+by+cz+d=0$ (P) đi qua M nên ta có: $4a+3b+4c+d=0$ (1) (P) có $\vec n$ là: $\vec n=(a;b;c)$ mà $(P) \\ \Delta \rightarrow \vec n.\vec u=0 \rightarrow -3a+2b+2c=0$ $\rightarrow c=\dfrac{3a-2b}{2}$ Thê $c$ vào $(1)$ ta có: $d=2b-10a$ Ta có: $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và $R=3$ Mà mp tiếp xúc mặt cầu nên: $d(I,(S))=R$ $\rightarrow 3=\dfrac{|a+2b+\dfrac{3}{2}(3a-2b)+2b-10|}{\sqrt{a^2+b^2+(\dfrac{3a-2b}{2})^2}}$ Đến đây chuyển vế bình phương, bạn sẽ đưa pt về dạng đẳng cấp đôi với $a,b$ và tìm ra quan hệ của chúng rồi chọn $a,b$ thích hợp Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 25-12-2016 - 22:00
Cách 1: 1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n→ (A;B;C) 2. Do mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n→ (A;B;C). 3. Phương trình mặt phẳng (α): A(x -xo ) +B(y -yo ) +C(z -zo) =0 Cách 2: 1. Mặt phẳng (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng: Ax +By +Cz +D'=0 (*) với D'≠D 2. Vì mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo ;yo ;zo ) nên thay tọa độ điểm M (xo ;yo ;zo ) vào (*) tìm đươc D’ Ví dụ minh họaBài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (0; 1; 2) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 4y + 2 = 0. Hướng dẫn: Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n→ (2; -4;0) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1; 2) và có vecto pháp tuyến n→ (2; -4;0) nên có phương trình là: 2(x -0) -4(y -1) +0 . (z -2) =0 ⇔2x -4y +4 =0 ⇔x -2y +2 =0 Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1; 2; -3) và song song với mặt phẳng (Oxy) Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z=0 Do mặt phẳng (P) song song song với mặt phẳng (Oxy) nên mặt phẳng (P) có dạng: z +c =0 (z≠0) Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1; 2; -3) nên ta có: -3 +c = 0 ⇔ c =3 Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: z +3 =0 Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (0; -1; 3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x+3y-z+5=0 Hướng dẫn: Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→ (2; 3;-1) Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→ (2; 3;-1) và đi qua điểm M (0; -1; 3) là: 2(x -0) +3(y +1) -1(z -3)=0 ⇔ 2x +3y -z =0 Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 1; 3), B(1; 2; 6), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC) Hướng dẫn: AB→=(-4;1;3); AC→=(0; -1;1) ⇒ [AB→ , AC→ ]=(4;4;4) Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có:  + Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→ + Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( P) nên ta có: n→ .u→ = 0 => Phương trình ẩn t => t=...=> tọa độ điểm M B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 2; -1 ) và đường thẳng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Gọi Δ là đường thẳng cần tìm + Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và Δ là B . Do B thuộc d nên B( 3+ t; 3+ 3t; 2t)=> + Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến + Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( Q) nên : =>> + Đường thẳng Δ đi qua A( 1; 2; -1) và nhận vecto Chọn A. Ví dụ 2. Cho hai điểm A( 1;1;0) và B( 2; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0;0) cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng (P): 2x+ y+ z- 1= 0. A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1;0); nhận vecto => Phương trình AB: + Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H(1+ t; 1-2t;2t) + đường thẳng d nhận vecto . + Mặt phẳng (P) nhận vecto + Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên + Đường thẳng d đi qua M( 1; 0;0) và nhận vecto => Phương trình đường thẳng d: Chọn D. Ví dụ 3. Cho đường thẳng A. B. C. D. Tất cả sai Hướng dẫn giải + Ta có: (AB) ⃗( -3;0;-2); (BC) ⃗(3; -1;3) Mặt phẳng (ABC) nhận vecto + Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M( 1-t; 2t; 2+ t) Đường thẳng Δ nhận vecto + Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABC) nên: n→ .OM→=0 ⇔ -2(1- t) + 3.2t + 3.( 2+ t) = 0 ⇔ - 2+ 2t+ 6t+ 6+ 3t = 0 ⇔ 11t+ 4= 0 ⇔ t= (- 4)/11 + đường thẳng OM: qua O nhận vecto => Phương trình OM: Chọn B. Ví dụ 4. Cho đường thẳng A. B. C. D. Đáp án khác Hướng dẫn giải + Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến + Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là A( 1+2t; - 2+ t;1- t). + Đường thẳng Δ nhận vecto Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P) nên: (MA→ .n→=0 ⇔ 2( 3+ 2t) – 3( - 3+ t) + 0( - 2- t) = 0 ⇔ 6+ 4t+ 9 – 3t = 0 ⇔ t= -15 + Đường thẳng Δ: đi qua M( -2; 1; 3) và nhận vecto Chọn A. Ví dụ 5. Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng A. ( - 4; 2; -6) B. (1; 2; - 1) C. ( 0; 2; - 2) D. (6; 2; 4) Hướng dẫn giải + Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương + Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương => Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến + Gọi giao điểm của d và Δ là H( 3- t; 2; 1- t ) Đường thẳng Δ nhận vecto + Do đường thẳng Δ song song với (P) nên:n→ .MH→=0 ⇔ 4(3- t)+ 3. 3 – 1( -t) = 0 ⇔ 12- 4t +9 + t= 0 ⇔ 21- 3t= 0 ⇔t= 7 => Giao điểm của đường thẳng d và Δ là H( - 4; 2; - 6) Chọn A. Ví dụ 6. Cho điểm A( -2; 1; 3) và mặt phẳng (P): 2x+2y+ z+ 10= 0. Viết phương trình đường thẳng d qua M( -1; -1; 0) cắt đường thẳng OA và song song với (P)? A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Đường thẳng OA: qua O(0; 0;0) và nhận vecto => Phương trình OA: + Gọi giao điểm của đường thẳng OA và d là H( -2t; t; 3t) Đường thẳng d nhận vecto + Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến + Do đường thẳng d song song với (P) nên: MH→ .n→=0 ⇔ 2( 1- 2t) +2( t+1) +1.3t= 0 ⇔ 2- 4t+2t+ 2+ 3t = 0 ⇔ t +4= 0 ⇔ t= -4 + Đường thẳng d nhận vecto => Phương trình d: Chọn C |
