Bài 71 trang 16 sbt hình học 11 nâng cao

LG a

Tìm điểm I sao cho F biến I thành chính nó.

Lời giải chi tiết:

Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M và T biến M thành M thì F biến M thành M.

Bởi vậy F biến điểm I thành điểm I nếu V biến I thành I và T biến I thành I, khi đó \(\overrightarrow {OI'} = k\overrightarrow {OI} \) và \(\overrightarrow {I'I} = \overrightarrow v .\)

Từ đó, suy ra \(\overrightarrow {OI} - \overrightarrow {OI'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} - k\overrightarrow {OI} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = {{\overrightarrow v } \over {1 - k}}\)

Vậy điểm I hoàn toàn xác định.

LG b

Chứng minh rằng F là phép vị tự tâm I tỉ số k

Lời giải chi tiết:

Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M thì \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \) , nếu T biến M thành M thì \(\overrightarrow {M'M''} = \overrightarrow v \) . Từ đó, suy ra \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \)

\(\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {IM'} - \overrightarrow {I{\rm{O}}} = k\left( {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {I{\rm{O}}} } \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {IM'} + \overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = k\overrightarrow {IM} \cr} \) (*)

Nhưng từ biểu thức xác định I ta có \(\overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = \overrightarrow v \).

Ngoài ra, vì \(\overrightarrow {M'M''} = \overrightarrow v \) nên \(\overrightarrow {IM''} - \overrightarrow {IM'} = \overrightarrow v \) hay \(\overrightarrow {IM'} = \overrightarrow {IM''} - \overrightarrow v \).

Vậy đẳng thức (*) trở thành \(\overrightarrow {IM''} = k\overrightarrow {IM} \).

Do đó, phép F biến M thành M chính là phép vị tự tâm I tỉ số k.