- LG a
- LG b
Cho phép vị tự V tâm O, tỉ số k 1 và phép tịnh tiến T theo vectơ \[\overrightarrow v \ne \overrightarrow 0 \] . Gọi F là phép hợp thành của V và T.
LG a
Tìm điểm I sao cho F biến I thành chính nó.
Lời giải chi tiết:
Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M và T biến M thành M thì F biến M thành M.
Bởi vậy F biến điểm I thành điểm I nếu V biến I thành I và T biến I thành I, khi đó \[\overrightarrow {OI'} = k\overrightarrow {OI} \] và \[\overrightarrow {I'I} = \overrightarrow v .\]
Từ đó, suy ra \[\overrightarrow {OI} - \overrightarrow {OI'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} - k\overrightarrow {OI} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = {{\overrightarrow v } \over {1 - k}}\]
Vậy điểm I hoàn toàn xác định.
LG b
Chứng minh rằng F là phép vị tự tâm I tỉ số k
Lời giải chi tiết:
Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M thì \[\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \] , nếu T biến M thành M thì \[\overrightarrow {M'M''} = \overrightarrow v \] . Từ đó, suy ra \[\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {IM'} - \overrightarrow {I{\rm{O}}} = k\left[ {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {I{\rm{O}}} } \right] \cr & \Rightarrow \overrightarrow {IM'} + \overrightarrow {OI} \left[ {1 - k} \right] = k\overrightarrow {IM} \cr} \] [*]
Nhưng từ biểu thức xác định I ta có \[\overrightarrow {OI} \left[ {1 - k} \right] = \overrightarrow v \].
Ngoài ra, vì \[\overrightarrow {M'M''} = \overrightarrow v \] nên \[\overrightarrow {IM''} - \overrightarrow {IM'} = \overrightarrow v \] hay \[\overrightarrow {IM'} = \overrightarrow {IM''} - \overrightarrow v \].
Vậy đẳng thức [*] trở thành \[\overrightarrow {IM''} = k\overrightarrow {IM} \].
Do đó, phép F biến M thành M chính là phép vị tự tâm I tỉ số k.