Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] có cạnh bên bằng \[3cm.\] Gọi \[D\] là một điểm thuộc đáy \[BC.\] Qua \[D,\] kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt \[AB\] và \[AC\] theo thứ tự tại \[F\] và \[E.\] Tính tổng \[DE + DF.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Vì \[DF // AC\] [gt] \[ \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat C\][hai góc đồng vị] [1]
Lại có \[ABC \] cân tại \[A\].
\[ \Rightarrow \widehat B = \widehat C\][tính chất tam giác cân] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\widehat B = \widehat {{D_1}}\] do đó \[BFD\] cân tại \[F\].
\[ \Rightarrow BF = DF\] [tính chất tam giác cân].
Nối \[AD\].
Vì \[DF//AC\] nên \[\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {D{\rm{AE}}}\] [hai góc so le trong].
Vì \[DE//AB\] nên \[\widehat {FAD} = \widehat {E{\rm{D}}A}\][hai góc so le trong].
Xét \[AFD\] và \[ DEA\] có:
\[\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {D{\rm{AE}}}\] [chứng minh trên]
\[AD\] cạnh chung
\[\widehat {FAD} = \widehat {E{\rm{D}}A}\][chứng minh trên]
\[ \RightarrowAFD = DEA\] [g.c.g]
\[ \Rightarrow AF = DE\] [hai cạnh tương ứng].
Vậy \[DE + DF = AF + BF = AB \]\[\,= 3\,[cm]\].