Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có \[\widehat A = 90^\circ \], kẻ \[AH\] vuông góc với \[BC\; [H BC].\] Các tia phân giác của các góc \[\widehat C\]và \[\widehat {BAH}\]cắt nhau ở \[I\]. Chứng minh rằng: \[\widehat {AIC} = 90^\circ \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng \[{180^o}\]
- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[AH \bot BC\left[ {gt} \right] \Rightarrow \Delta AHB\]vuông tại \[H\].
Xét tam giác vuông \[AHB\] có \[\widehat {AHB} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat B + \widehat {BAH} = 90^\circ \left[ 1 \right]\]
Xét tam giác vuông \[ABC\] có: \[\widehat {BAC} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 90^\circ \left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {BAH} = \widehat C\]
+] Vì AI là tia phân giác của góc BAH nên:
\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = {1 \over 2}\widehat {BAH}\left[ {gt} \right] \]
+] Vì CI là tia phân giác của góc ACB nên:
\[ \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = {1 \over 2}\widehat C\left[ {gt} \right] \]
Mà\[\widehat {BAH} = \widehat C\] suy ra \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\]
Lại có \[\widehat {{A_1}} + \widehat {IAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \]
Suy ra: \[\widehat {{C_1}} + \widehat {IAC} = 90^\circ \]
Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \[ AIC\], ta có:
\[\widehat {AIC} + \widehat {IAC} + \widehat {{C_1}} = {180^o}\]
\[\Rightarrow \widehat {AIC} = {180^o} - \left[ {\widehat {IAC} + \widehat {{C_1}}} \right] \]\[\,= {180^o} - {90^o}= 90^\circ \].