Đề bài
Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Trên đường chéo AC lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = CN.
a] Chứng minh rằng hai điểm M và N đối xứng nhau qua tâm O.
b] Chứng minh rằng O là tâm đối xứng của tứ giác DMBN.
c] DM cắt AB tại E, BN cắt CD tại F. Chứng minh rằng hai điểm E và F đối xứng nhau qua O.
Lời giải chi tiết
a] O là tâm của hình bình hành ABCD [gt]
\[ \Rightarrow O\] là trung điểm của AC và BD \[ \Rightarrow OA = OC\].
Mà \[AM = CN\,\,\left[ {gt} \right]\] nên \[OA - AM = OC - CN\]
\[ \Rightarrow OM = ON \Rightarrow O\] là trung điểm của MN
\[ \Rightarrow M,N\] đối xứng nhau qua tâm O.
b] Tứ giác DMBN có DB và MN cắt nhau tại O [gt],
O là trung điểm của DB [câu a]
Và O là trung điểm của MN [câu a]
Do đó tứ giác DMBN là hình bình hành
\[ \Rightarrow O\] là tâm đối xứng của tứ giác DMBN.
c] Tứ giác DEBF có:
EB // CD [AB // CD, \[E \in AB,\,\,F \in CD\]]
Và DE // EB [DM // BN, \[E \in BM,\,\,F \in BN\]]
\[ \Rightarrow \] Tứ giác DEBF là hình bình hành
\[ \Rightarrow DB\] và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà O là trung điểm của BD [câu a]
Nên O là trung điểm của EF \[ \Rightarrow E,F\] đối xứng nhau qua O.