Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho nửa đường tròn tâm \[O\] có đường kính \[AB = 2R\]. Gọi \[M\] và \[N\] là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung \[AM\] và \[BN\] cắt nhau tại \[I\].
LG a
Chứng minh \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\]và \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\];
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc ba điểm, xen điểm thích hợp và chú ý:\[\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\]
Lời giải chi tiết:
AB là đường kính nên \[\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AM \bot MB\\
AN \bot NB
\end{array} \right.\]
Ta có: \[{\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} } = \overrightarrow {AI} \left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right] \]
\[= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} \]
Mặt khác: \[\overrightarrow {AI} \bot \overrightarrow {BM} \] [do AM\[\bot\] MB] nên \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BM} = 0\]
Từ đó: \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}+0 \] \[=\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}\]
Ta có: \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} \left[ {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right] \]\[= \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} \]
Mặt khác: \[\overrightarrow {BI} \bot \overrightarrow {AN} \] [vì BN \[\bot\] NA] nên \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AN} = 0\]
Từ đó: \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}+0 \]\[=\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}\].
LG b
Hãy dùng câu a] để tính \[\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\]theo \[R.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng kết quả câu a suy ra đáp án, chú ý\[\overrightarrow a .\overrightarrow a = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{& \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}\cr& = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \cr &= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} .\left[ { - \overrightarrow {AB} } \right]\cr &= \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {AB} \cr&= \overrightarrow {AB} \left[ {\overrightarrow {AI} - \overrightarrow {BI} } \right] \cr & = \overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} } \right]\cr &= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = {\overrightarrow {AB} ^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \]