Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \[y = \dfrac{1}{x}\]:
LG a
Tại điểm \[[ \dfrac{1}{2} ; 2]\]
Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số\[y = f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ\[x = {x_0}\] là:\[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Xét giới hạn:
\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left[ x \right] - f\left[ {{x_0}} \right]}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{{x_0} - x}}{{x.{x_0}\left[ {x - {x_0}} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{ - 1}}{{x.{x_0}}} = - \dfrac{1}{{x_0^2}}\\
\Rightarrow y'\left[ {{x_0}} \right] = - \dfrac{1}{{x_0^2}}
\end{array}\]
Ta có: \[y' \left [ \dfrac{1}{2} \right ]= -4\].
Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \[[\dfrac{1}{2} ; 2]\]là\[y = - 4\left[ {x - \dfrac{1}{2}} \right] + 2 = - 4x + 4\]
LG b
Tại điểm có hoành độ bằng \[-1\];
Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số\[y = f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ\[x = {x_0}\] là:\[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + f\left[ {{x_0}} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y' [-1] = -1, y[-1]=-1\].
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là \[-1\] là:\[y = - \left[ {x + 1} \right] - 1 = - x - 2\].
LG c
Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[ -\dfrac{1}{4}\].
Phương pháp giải:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \[x_0\] là\[f'\left[ {{x_0}} \right] = 3\].
Giải phương trình tìm \[x_0\], từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số\[y = f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ\[x = {x_0}\].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[x_0\]là hoành độ tiếp điểm. Ta có
\[y' [x_0] = - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{x_{0}^{2}} = - \dfrac{1}{4}\]\[\Leftrightarrow x_{0}^{2}= 4 \Leftrightarrowx_{0}=±2\].
Với \[x_{0}= 2\] ta có \[y[2] = \dfrac{1}{2}\], phương trình tiếp tuyến là\[y = - \dfrac{1}{4}\left[ {x - 2} \right] + \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}x + 1\].
Với \[x_{0}= -2\] ta có \[y [-2] = - \dfrac{1}{2}\], phương trình tiếp tuyến là:\[y = - \dfrac{1}{4}\left[ {x + 2} \right] - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}x - 1\].
Chú ý:Trong các ý a, b, c đều sử dụng cách tính đạo hàm của hàm số tại điểm \[x=x_0\] bằng định nghĩa. Sau khi học xong bài 2 thì các em có thể quay lại làm lại bài tập này, việc tính đạo hàm sẽ dễ hơn rất nhiều.