- LG 1
- LG 2
- LG 3
- LG 4
- LG 5
- LG 6
- LG 7
Trong không gianOxyzcho bốn điểmA[1 ; 0 ; 2],B[1 ; 1 ; 0],C[0 ; 0 ; 1] vàD[ 1 ; 1 ; 1].
LG 1
Chứng minhA, B,C, Dlà bốn đỉnh của một khối tứ diện.
Lời giải chi tiết:
\[\overrightarrow {CA} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left[ {{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right],{\rm{ }}\overrightarrow {CB} {\rm{ }} = \left[ {1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }}; - 1} \right],{\rm{ }}\overrightarrow {CD} {\rm{ }} = \left[ {1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right]\]
\[ = > \left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right] = [ - 1;2;1]\]
\[\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right].\overrightarrow {CD = } 1 \ne 0\]
=>A,B,C,Dkhông đồng phẳng hayA,B,C,Dlà bốn đỉnh của một khối tứ diện.
LG 2
Tính thể tích khối tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết:
\[{V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right].\overrightarrow {CD} } \right| = {1 \over 6}.\]
LG 3
Viết phương trình đường cao của tứ diệnABCDhạ từ đỉnhD.
Lời giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương của đường cao tứ diện hạ từ đỉnhDcó thế lấy là vectơ pháp tuyến của mp[ABC] hay vectơ \[\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}\left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right].\]
Vậy đường cao đó có phương trình chính tắc là \[{{x - 1} \over { - 1}} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 1} \over 1}.\]
LG 4
Viết phương trình mặt cầu [S] ngoại tiếp tứ diệnABCD.
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu [S] ngoại tiếp tứ diệnABCDcó dạng
\[{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - {\rm{ }}2ax{\rm{ }} - {\rm{ }}2by{\rm{ }} - {\rm{ }}2cz{\rm{ }} + {\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
DoA, B, C, Dthuộc [S] nên ta có hệ phương trình
\[\left\{ {\matrix{ {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}4c - d - 5{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b - d - 2{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr {2c - d - {\rm{ 1}} = {\rm{ }}0} \hfill \cr {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b{\rm{ }} + {\rm{ }}2c - d - 3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.} \hfill \cr } } \right.\]
Giải hệ ta có : \[a = {3 \over 2},b = - {1 \over 2},c = {1 \over 2},d = 0.\]
Vậy phương trình mặt cầu [S] là
\[{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}y - z{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
Suy ra [S] có tâm là \[I\left[ {{3 \over 2}; - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right]\] và bán kính \[R{\rm{ }} = {{\sqrt {11} } \over 2}.\]
LG 5
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu [S] tại đỉnhA.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu [S] tạiAcó vectơ pháp tuyến là
\[\overrightarrow {AI} = \left[ {{1 \over 2}; - {1 \over 2}; - {3 \over 2}} \right] = {1 \over 2}\left[ {1; - 1; - 3} \right].\]
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là
\[\matrix{ {\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]{\rm{ }} - {\rm{ }}\left[ {y{\rm{ }} - {\rm{ }}0} \right]{\rm{ }} - {\rm{ }}3\left[ {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr { < = > x - y - 3z{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.} \hfill \cr } \]
LG 6
Xác định toạ độ của điểmA'đối xứng với điểmAqua mp[BCD].
Lời giải chi tiết:
Ta viết phương trình mp[BCD], đó là mặt phẳng đi qua \[C\left[ {0{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]\] và các vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n {\rm{ = }}\left[ {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = {\rm{ }}\left[ {1{\rm{ }}; - {\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right].\]
Vậy mp[BCD] có phương trình : \[x - y{\rm{ }} = 0.\]
Đường thẳng quaAvà vuông góc với mp[BCD] có phương trình là
\[\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = - t \hfill \cr z = 2. \hfill \cr} \right.\]
GọiKlà giao điểm của đường thẳng này với mp[BCD], toạ độ củaKlà nghiệm của hệ
\[\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = - t \hfill \cr z = 2 \hfill \cr x - y = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow K = \left[ {{1 \over 2};{1 \over 2};2} \right].\]
VìA' là điểm đối xứng vớiAqua mp[BCD] nên ta có
\[\left\{ \matrix{ {x_{A'}} + {x_A} = 2{x_K} \hfill \cr {y_{A'}} + {y_A} = 2{y_K} \hfill \cr {z_{A'}} + {z_A} = 2{z_K} \hfill \cr} \right. \Rightarrow A' = \left[ {0;1;2} \right].\]
LG 7
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngACvàBD.
Lời giải chi tiết:
Dễ dàng nhận thấyBDsong song với mp[xOz] mà mp[xOz] chứaACnên \[d\left[ {AC,BD} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}d\left[ {B,\left[ {xOz} \right]} \right]{\rm{ }} = 1.\]