Đề bài
Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α là góc giữa BC và AD; β là góc giữa AC và BD; γ là góc giữa AB và CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng \[{a^2}\cos \alpha ,{b^2}\cos \beta ,{c^2}\cos \gamma \] có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\cos \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {DA} } \right] = {{2{c^2} - 2{b^2}} \over {2{a^2}}} = {{{c^2} - {b^2}} \over {{a^2}}}\].
Vậy nếu góc giữa BC và AD bằng α thì:
\[\cos \alpha = {{\left| {{c^2} - {b^2}} \right|} \over {{a^2}}}\] hay \[{a^2}\cos \alpha = \left| {{c^2} - {b^2}} \right|\].
Tương tự như trên, nếu gọi β là góc giữa AC và BD thì:
\[{b^2}\cos \beta = \left| {{a^2} - {c^2}} \right|\]
và γ là góc giữa AB và CD thì
\[{c^2}\cos \gamma = \left| {{b^2} - {a^2}} \right|\].
Với a, b, c lần lượt là dộ dài của BC, CA, AB, không giảm tính tổng quát có thể coi a b c. Khi đó:
\[\eqalign{ & {a^2}\cos \alpha = {b^2} - {c^2} \cr & {b^2}\cos \beta = {a^2} - {c^2} \cr & {c^2}\cos \gamma = {a^2} - {b^2} \cr} \].
Từ đó, trong trường hợp này ta có \[{b^2}\cos \beta = {a^2}\cos \alpha + {c^2}\cos \gamma \].