Đề bài
Cho hai mặt phẳng [P] và [Q] cắt nhau theo giao tuyến và tạo với nhau góc α. Xét hai điểm M và N lần lượt thuộc [P] và [Q]. Kẻ MI vuông góc với , NJ vuông góc với . Cho biết \[MI = a,NJ = b,IJ = c\]. Tính độ dài MN.
Lời giải chi tiết
Trong mp[Q], kẻ qua I đường thẳng song song với JN và kẻ qua N đường thẳng song song với IJ, chúng cắt nhau tại K.
Dễ thấy \[MI \bot NK\], tứ giác IJNK là hình chữ nhật.
Như vậy \[MI \bot NK,IK \bot KN\], từ đó \[MK \bot KN\], ngoài ra IK = b, NK = c.
Vì MI và IK cũng vuông góc với IJ.
Vậy \[\widehat {MIK}\] hoặc \[{180^0} - \widehat {MIK}\] là góc giữa hai mặt phẳng [P] và [Q].
Ta có:
\[\eqalign{ & M{N^2} = M{K^2} + K{N^2} = M{K^2} + {c^2}; \cr & M{K^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \widehat {MIK} \cr} \]
Vậy \[MN = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2{\rm{a}}b\cos \widehat {MIK} + {c^2}} \]
hoặc \[MN = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2{\rm{a}}b\cos \widehat {MIK} + {c^2}} \].