Bài tập xác định khối tâm của hệ
|
- là một đại lượng vật lý (với đơn vị đo trong SI là kilôgam mét vuông kg m2) đặc trưng cho mức quán tính của các vật thể trong chuyển động quay , tương tự như khối lượng trong chuyển động thẳng. - Với một khối lượng m có kích thước nhỏ so với khoảng cách r tới trục quay, mô men quán tính được tính bằng: I = m r2 -Với hệ nhiều khối lượng có kích thước nhỏ, mô men quán tính của hệ bằng tổng của mô men quán tính từng khối lượng: \(I=\sum\limits_{{}}{{}}{{{m}_{i}}r_{i}{2}}\) -Với vật thể rắn đặc, chứa các phần tử khối lượng gần như liên tục, phép tổng được thay bằng tích phân toàn bộ thể tích vật thể: \(I=\int {{r}^{2}}dm\) -Với dm là phần tử khối lượng trong vật và r là khoảng cách từ dm đến tâm quay. Nếu khối lượng riêng của vật là ρ thì: dm = ρ dV Với dV là phần tử thể tích. Định lí trục song song (Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)). Xét với trục quay D song song với trục quay DG qua khối tâm G của vật rắn, chúng cách nhau một khoảng d. Khối lượng vật rắn là M, mô men quán tính của vật rắn đối với trục quay D là I được xác định qua mô men quán tính IG đối với trục quay DG I = IG + Md2 (Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)). IG -là mô men quán tính của vật đối với trục quay qua khối tâm m -là khối lượng của vật d -là khoảng cách giữa 2 trục quay 1.2. Khối tâm
\(\overrightarrow{OG}={{\vec{r}}_{G}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}{{{\vec{r}}}_{i}}}}{\sum{{{m}_{i}}}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}{{{\vec{r}}}_{i}}}}{M}\) với \({{\overrightarrow{r}}_{i}}=\overrightarrow{O{{M}_{i}}}\) Nếu ta chọn O ở G thì \(\overrightarrow{{{r}_{G}}}=\overrightarrow{0}\)
\({{\vec{r}}_{G}}=\frac{\int{\overrightarrow{r}dm}}{\int{dm}}=\frac{\int{\overrightarrow{r}dm}}{M}\) 2. VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1. Cho một khối trụ đồng chất khối lượng m phân bố đều, có tiết diện là hình vành khăn, bán kính ngoài là r, bán kính trong là \(\frac{\text{r}}{\text{2}}\). Khối trụ này lăn không trượt, không vận tốc đầu từ đỉnh của một bán trụ cố định bán kính R. .jpg?enablejsapi=1) Hướng dẫn Khối lượng riêng của khối trụ rỗng: \(D=\frac{m}{\ell \pi \left( {{r}{2}}-\frac{{{r}{2}}}{4} \right)}=\frac{4m}{3.\ell .\pi .{{r}^{2}}}\) Khối lượng của khối trụ đặc bán kính r: \({{m}_{1}}=\frac{{{r}{2}}}{\left( {{r}{2}}-\frac{{{r}^{2}}}{4} \right)}m=\frac{4}{3}m\) Khối lượng của khối trụ đặc bán kính r/2: \({{\text{m}}_{\text{2}}}=\frac{\text{4}}{\text{3}}\text{m}-\text{m}=\frac{\text{1}}{\text{3}}\text{m}\) Momen quán tính của khối trụ rỗng: \(\text{I}={{\text{I}}_{\text{1}}}-{{\text{I}}_{\text{2}}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}{{\text{m}}_{\text{1}}}{{\text{r}}{\text{2}}}-\frac{\text{1}}{\text{2}}{{\text{m}}_{\text{2}}}\frac{{{\text{r}}{\text{2}}}}{\text{4}}=\frac{\text{5}}{\text{8}}\text{m}{{\text{r}}^{\text{2}}}\) (1) Ví dụ 2. Cho một bán cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R, tâm O(hình vẽ). Chứng minh rằng khối tâm G của bán cầu cách tâm O của nó một đoạn là d = 3R/8. .jpg) Hướng dẫn Một lớp ở điểm có toạ độ x= R sin a, dày dx= Rcosa.daDo đối xứng, G nằm trên trục đối xứng Ox. Chia bán cầu thành nhiều lớp mỏng dày dx nhỏ ( hình vẽ). Có khối lượng dm = rp(Rcosa)2dx với \(m = \rho \frac{2}{3}\pi {R^3}\) nên: \(\begin{array}{l} {x_G} = \frac{{\int\limits_0^m {xdm} }}{m} = \frac{{\int\limits_0^{\pi /2} {\rho \pi {R^4}{{\cos }3}\alpha \sin \alpha d\alpha } }}{m}\\ \to d = {x_G} = - \frac{{\rho \pi {R^4}}}{{4m}}{\cos ^4}\alpha \left| {_0{\pi /2}} \right. = \frac{{\rho \pi {R^4}}}{{4m}} = \frac{{3R}}{8} \end{array}\) Ví dụ 3. Xác định tọa độ trọng tâm của các vật đồng chất có khối lượng là \(\rho \) trên một đơn vị phân bố tương ứng có hình dạng như sau
Hướng dẫn
+ Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm G của đoạn dây nằm trên trục Ox .jpg) + Xét phần tử vi phân chiều dài rất bé có độ dài và khối lượng tương ứng là \(\left\{ \begin{align} & dl=R.d\varphi \\ & dm=\rho .R.d\varphi \\ \end{align} \right.\) ( Vì khối lượng phân bố theo chiều dài) +Tọa độ khối tâm G \({{x}_{G}}=\frac{1}{m}\int\limits_{\frac{-\alpha }{2}}{\frac{\alpha }{2}}{dm.R\cos \varphi =\frac{1}{m}\int\limits_{-\frac{\alpha }{2}}{\frac{\alpha }{2}}{\rho .{{R}{2}}}}c\text{os}\varphi .d\varphi =\int\limits_{\frac{-\alpha }{2}}{\frac{\alpha }{2}}{\frac{R}{\alpha }}c\text{os}\varphi .d\varphi =\frac{2R\sin \frac{\alpha }{2}}{\alpha }\) ( với \(m=\rho .\alpha .R\)) + Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn \(\alpha =\pi \Rightarrow {{x}_{G}}=\frac{2R}{\pi }\)
+ Biện luận như câu a. Trọng tâm nằm trên trục Ox + Xét phần tử vi phân diện tích dS giới hạn bởi hai đường tròn bán kính r và (r + dr) có góc ở tâm là \(d\varphi \) có khối lượng tương ứng là dm với \(\left\{ \begin{align} & dS=dl.dr=r.d\varphi .dr \\ & dm=\rho .dS=\rho r.d\varphi .dr \\ \end{align} \right.\) ( Vì khối lượng phân bố theo diện tích) + Tọa độ khối tâm G \({{x}_{G}}=\frac{1}{m}\int\limits_{0}{R}{\rho .{{r}{2}}dr.\int\limits_{-\frac{\alpha }{2}}{\frac{\alpha }{2}}{c\text{os}\varphi .d\varphi }}=\frac{4.R\sin \frac{\alpha }{2}}{3\alpha }\) (với \(m=\frac{1}{2}\rho \alpha {{R}{2}}\)) + Áp dụng cho hình bán nguyệt \(\alpha =\pi \Rightarrow {{x}_{G}}=\frac{4R}{3\pi }\) 3. BÀI TẬP VẬN DỤNGBài 1. Hai chiếc đĩa tròn đồng chất giống nhau chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang rất nhẵn, theo đường thẳng nối tâm các đĩa, đến gặp nhau. Các đĩa này quay cùng chiều quanh trục thẳng đứng qua tâm của chúng với các tốc độ góc tương ứng là w1 và w2. Tác dụng của lực ma sát giữa các đĩa và mặt bàn không đáng kể, còn tác dụng của lực ma sát xuất hiện ở điểm tiếp xúc hai đĩa với nhau thì đáng kể. Biết các đĩa có khối lượng m, có dạng trụ tròn thẳng đứng, hai đáy phẳng, bán kính R; phần tâm đĩa có khoét một lỗ thủng hình trụ tròn đồng tâm với vành đĩa, bán kính R/2. Tính mômen quán tính đối với trục quay nói trên của mỗi đĩa. ... Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Chuyên đề bài tập tính Mômen quán tính – Xác định khối tâm môn Vật Lý 10 năm 2021-2022. Để xem thêm nhiều tư liệu hữu ích khác, các em đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính. |
