Bài toán ứng dụng tích phân loga.vn năm 2024

Cuốn sách gồm 455 trang, được biên soạn bởi nhóm tác giả Tư Duy Toán Học 4.0: Phan Nhật Linh, Nguyễn Duy Hiếu, Nguyễn Khánh Linh, Lê Huy Long, tóm tắt toàn bộ lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán, các ví dụ minh họa và bài tập rèn luyện từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề mũ – logarit và tích phân, giúp các em hoàn thiện kiến thức, rèn tư duy và rèn luyện tốc độ làm bài; tất cả các bài tập trong sách đều có giải chi tiết 100% tiện lợi cho việc so sánh đáp án và tra cứu thông tin.

Mục lục cuốn sách nắm trọn chuyên đề mũ – logarit và tích phân: PHẦN I. MŨ VÀ LOGARIT. CHỦ ĐỀ 1. MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA. Dạng 1. Tính, rút gọn, so sánh các số liên quan đến lũy thừa. CHỦ ĐỀ 2. MŨ – LOGARIT. Dạng 1. Biến đổi mũ – logarit. CHỦ ĐỀ 3. HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT. Dạng 1. Bài tập về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit. CHỦ ĐỀ 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. Dạng 1. Bài tập về phương trình mũ, phương trình logarit số 01. Dạng 2. Bài tập về phương trình mũ, phương trình logarit số 02. Dạng 3. Bài tập về phương trình mũ, phương trình logarit chứa tham số 01. Dạng 4. Bài tập về phương trình mũ, phương trình logarit chứa tham số 02. CHỦ ĐỀ 5. BPT MŨ – BPT LOGARIT. Dạng 1. Biện luận nghiệm của phương trình mũ – logarit. Dạng toán tìm GTLN và GTNN của hàm số mũ – logarit. Dạng toán liên quan đến hàm đặc trưng. Dạng toán tìm cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện. Dạng toán lãi suất. Dạng toán thực tế liên quan đến sự tang trưởng. Dạng toán thường xuất hiện trong đề thi của Bộ GD&ĐT. PHẦN II. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN. CHỦ ĐỀ 1. NGUYÊN HÀM. Dạng 1. Phương pháp tính nguyên hàm. CHỦ ĐỀ 2. TÍCH PHÂN. Dạng 1. Phương pháp tính tích phân. Dạng 2. Tích phân cho bởi nhiều hàm. Dạng 3. Tích phân hàm ẩn phần 1. Dạng 3. Tích phân hàm ẩn phần 2. Dạng 4. Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích. Dạng 5. Tích phân trong đề thi của Bộ GD&ĐT.

Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
Nguyên Hàm – Tích Phân

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Hệ thống bài tập hàm số mũ, logarit

29/1/2024 15:43

Hệ thống bài tập hàm số mũ, logarit bước đầu cung cấp cả câu hỏi Đúng-Sai, nhiều lựa chọn, Tự luận tương tự như đề minh hoạ 2025.

Bài giảng Giới hạn dãy số

25/12/2023 14:23

Bài giảng Giới hạn dãy số

Một số bài tập về quy tắc đếm

25/12/2023 14:18

Tài liệu gồm 36 trang được tổng hợp và biên soạn gồm các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm quy tắc cộng và quy tắc nhân, bài tập trắc nghiệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, có đáp án và lời giải chi tiết.

Tài liệu hàm số và hàm số bậc hai, sách Cánh diều

20/11/2023 14:38

Tài liệu hàm số và hàm số bậc hai, sách Cánh diều

Tích vô hướng của hai vec tơ- Sách Cánh diều

20/11/2023 14:30

Tích vô hướng của hai vec tơ- Sách Cánh diều

Tổng hợp một số câu hỏi vận dụng trong đề thi thử lớp 12.

18/10/2023 21:25

Tổng hợp một số câu hỏi vận dụng trong đề thi thử lớp 12.

Hệ thống câu hỏi Hàm số lượng giác

18/10/2023 21:21

Hệ thống câu hỏi Hàm số lượng giác theo chương trình mới, sách Kết nối tri thức với cuộc sống.

Kế hoạch chi tiết theo tuần

8/9/2023 15:56

Kế hoạch chi tiết theo tuần nhằm giúp giáo viên và học sinh chủ động trong thực hiện chương trình dạy học theo từng tuần.

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1 CHUYÊN ĐỀ 20 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 1 Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích .............................................................................................................. 1 Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện .................................................................................................... 1 Dạng 1.2 Bài toán có điều kiện .................................................................................................................................. 13 Dạng 2. Ứng dụng tích phân để tìm thể tích .............................................................................................................. 23 Dạng 2.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện .................................................................................................. 23 Dạng 2.2 Bài toán có điều kiện .................................................................................................................................. 28 Dạng 3. Ứng dụng tích phân để giải bài toán chuyển động ...................................................................................... 30 Dạng 3.1 Bài toán cho biết hàm số của vận tốc, quảng đường ................................................................................... 30 Dạng 3.2 Bài toán cho biết đồ thị của vận tốc, quảng đường ..................................................................................... 33 Dạng 4. Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế .................................................................................... 37 Dạng 4.1 Bài toán liên quan đến diện tích.................................................................................................................. 37 Dạng 4.2 Bài toán liên quan đến thể tích.................................................................................................................... 41 Dạng 5. Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán đại số ........................................................................... 45 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ........................................................................................................................... 48 Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích ............................................................................................................ 48 Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện .................................................................................................. 48 Dạng 1.2 Bài toán có điều kiện .................................................................................................................................. 60 Dạng 2. Ứng dụng tích phân để tìm thể tích .............................................................................................................. 74 Dạng 2.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện .................................................................................................. 74 Dạng 2.2 Bài toán có điều kiện .................................................................................................................................. 81 Dạng 3. Ứng dụng tích phân để giải bài toán chuyển động ...................................................................................... 84 Dạng 3.1 Bài toán cho biết hàm số của vận tốc, quảng đường ................................................................................... 84 Dạng 3.2 Bài toán cho biết đồ thị của vận tốc, quảng đường ..................................................................................... 88 Dạng 4. Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế .................................................................................... 91 Dạng 4.1 Bài toán liên quan đến diện tích.................................................................................................................. 91 Dạng 4.2 Bài toán liên quan đến thể tích.................................................................................................................... 99 Dạng 5. Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán đại số ......................................................................... 108 PHẦN A. CÂU HỎI Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2 Câu 1. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hàm số ( ) y f x  xác định và liên tục trên đoạn   ; a b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , trục hoành và hai đường thẳng , x a x b   được tính theo công thức A. ( ) d b a S f x x   . B. ( ) d b a S f x x   . C. ( ) d b a S f x x    . D. ( ) d a b S f x x   . Câu 2. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 x y  , 0 y  , 0 x  , 2 x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 0 2 d x S x    B. 2 0 2 d x S x   C. 2 2 0 2 d x S x    D. 2 2 0 2 d x S x   Câu 3. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường e x y  , 0 y  , 0 x  , 2 x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 0 e d x S x   B. 2 0 e d x S x    C. 2 0 e d x S x    D. 2 2 0 e d x S x    Câu 4. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên .  Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ), 0, 1 y f x y x     và 5 x  (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 5 1 1 ( )d ( )d S f x x f x x       . B. 1 5 1 1 ( )d ( )d S f x x f x x      . C. 1 5 1 1 ( )d ( )d S f x x f x x      . D. 1 5 1 1 ( )d ( )d S f x x f x x       . Câu 5. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số ( ) f x liên tục trên  . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ), 0, 1, 2 y f x y x x      (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) ( ) 1 2 1 1 dx + dx S f x f x     . B. ( ) ( ) 1 2 1 1 dx dx S f x f x       . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3 C. ( ) ( ) 1 2 1 1 dx+ dx S f x f x      . D. ( ) ( ) 1 2 1 1 dx dx S f x f x      . Câu 6. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y x x   và đồ thị hàm số 2 . y x x   A. 37 12 B. 9 4 C. 81 12 D. 13 Câu 7. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Gọi S là diện tích hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường ( ) y f x  , trục hoành và hai đường thẳng 1 x   , 2 x  . Đặt ( ) 0 1 d a f x x    , ( ) 2 0 d b f x x   , mệnh đề nào sau đây đúng? A. S b a   B. S b a   C. S b a    D. S b a    Câu 8. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho ( ) H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 y 3x  , cung tròn có phương trình 2 y 4 x   (với 0 x 2   ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của ( ) H bằng A. 4 3 12   B. 4 3 6   C. 4 2 3 3 6    D. 5 3 2 3   Câu 9. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4 A. ( ) 2 1 2 2 x dx     B. ( ) 2 1 2 2 x dx    C. ( ) 2 2 1 2 2 4 x x dx      D. ( ) 2 2 1 2 2 4 x x dx     Câu 10. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số ( ) f x liên tục trên  . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ), 0, 1 y f x y x     và 4 x  (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) ( ) 1 4 1 1 dx dx S f x f x      . B. ( ) ( ) 1 4 1 1 dx dx S f x f x      . C. ( ) ( ) 1 4 1 1 dx dx S f x f x       . D. ( ) ( ) 1 4 1 1 dx dx S f x f x       . Câu 11. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số ( ) f x liên tục trên .  Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi cá đường ( ),  y f x 0, 2    y x và 3  x (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) ( ) 1 3 2 1 d d .       S f x x f x x B. ( ) ( ) 1 3 2 1 d d .      S f x x f x x C. ( ) ( ) 1 3 2 1 d d .       S f x x f x x D. ( ) ( ) 1 3 2 1 d d .      S f x x f x x x y y=f (x ) 2 3 O 1CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5 Câu 12. (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? A. ( ) 2 2 1 2 2 4 d x x x     . B. ( ) 2 2 1 2 2 4 d x x x     . C. ( ) 2 2 1 2 2 4 d x x x      . D. ( ) 2 2 1 2 2 4 d x x x      . Câu 13. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , trục hoành, đường thẳng , x a x b   (như hình vẽ bên). Hỏi cách tính S nào dưới đây đúng? A. ( ) b a S f x dx   . B. ( ) ( ) c b a c S f x dx f x dx     . C. ( ) ( ) c b a c S f x dx f x dx      . D. ( ) ( ) c b a c S f x dx f x dx     . Câu 14. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: 3 3 y x x   , y x  . Tính S . A. 4 S  . B. 8 S  . C. 2 S  . D. 0 S  . Câu 15. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 x y  , 0 y  , 0 x  , 2 x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 0 3 x S dx   . B. 2 2 0 3 x S dx    . C. 2 0 3 x S dx    . D. 2 2 0 3 x S dx   . Câu 16. (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn   ; a b . Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) ( ) : C y f x  , trục hoành, hai đường thẳng x a  , x b  (như hình vẽ dưới đây). Giả sử D S là diện tích hình phẳng D . đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây? CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6 A. ( ) ( ) 0 0 d d b D a S f x x f x x     . B. ( ) ( ) 0 0 d d b D a S f x x f x x      . C. ( ) ( ) 0 0 d d b D a S f x x f x x     . D. ( ) ( ) 0 0 d d b D a S f x x f x x      . Câu 17. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) 2 2 1 y x    , trục hoành và hai đường thẳng 1, 2 x x   bằng A. 2 3 . B. 3 2 . C. 1 3 . D. 7 3 . Câu 18. Cho hai hàm số ( ) f x và ( ) g x liên tục trên   ; a b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số ( ) y f x  , ( ) y g x  và các đường thẳng x a  , x b  bằng A.   ( ) ( ) d b a f x g x x   . B. ( ) ( ) d b a f x g x x   . C. ( ) ( ) d b a f x g x x   . D.   ( ) ( ) d b a f x g x x   . Câu 19. Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? A. ( ) 1 2 1 2 d x x x     . B. ( ) 1 2 1 2 d x x x     . C. ( ) 1 2 1 2 d x x x      . D. ( ) 1 2 1 2 d x x x      . Câu 20. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4 y x x   và trục Ox CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7 A. 11. B. 34 3 . C. 31 3 . D. 32 3 . Câu 21. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2 2 y x   , đường cong 3 y x  và trục hoành ( như hình vẽ ) bằng : A. 11 2 B. 73 12 C. 7 12 D. 5 2 Câu 22. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , trục hoành và hai đường thẳng x a  , x b  ( ) a b  (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức nào dưới đây ? A. ( ) ( ) d d c b a c S f x x f x x     . B. ( )d b a S f x x   . C. ( ) ( ) d d c b a c S f x x f x x      . D. ( ) d b a S f x x   . Câu 23. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1, 1, 2 y x x x      và trục hoành. A. 6 S  . B. 16 S  . C. 13 6 S  . D. 13 S  . Câu 24. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 5 y x   , 6 y x  , 0 x  , 1 x  . Tính S . A. 4 3 B. 7 3 C. 8 3 D. 5 3 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8 Câu 25. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) 3 1 : 1 x C y x     và hai trục tọa độ là S . Tính S ? A. 4 1 ln 3 S   B. 4 4ln 3 S  C. 4 4ln 1 3 S   D. 4 ln 1 3 S   Câu 26. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 3 y x x   ; 2 y x  và các đường 1 x  ; 1 x   được xác định bởi công thức: A. ( ) ( ) 0 1 3 3 1 0 3 d 3 d S x x x x x x        . B. ( ) ( ) 0 1 3 3 1 0 3 d 3 d S x x x x x x        . C. ( ) 1 3 1 3 d S x x x     . D. ( ) 1 3 1 3 d S x x x     . Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 0; 1 ; ; 2 y x x x y     bằng A. 4 3 . B. 7 3 . C. 8 3 . D. 1. Câu 28. (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN 1 NĂM 2018-2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( ) 1 : 1 x H y x    và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng A. 2ln 2 1  . B. ln 2 1  . C. ln 2 1  . D. 2ln 2 1  . Câu 29. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 ln x y x  , 0 y  , 1 x  , x e  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 1 ln d e x S x x    . B. 2 1 ln d e x S x x   . C. 2 2 1 ln d e x S x x             . D. 2 2 1 ln d e x S x x              Câu 30. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2 2 1 y x x     , 2 2 4 1 y x x    là A. 8 . B. 5 . C. 4 . D. 10 . Câu 31. (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị 2 2 y x x   , 2 y x   . A. 7 2 . B. 9 2 . C. 5 2 . D. 11 2 . Câu 32. (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong ln y x x  , trục hoành và đường thẳng x e  là A. 2 1 2 e  . B. 2 1 2 e  . C. 2 1 4 e  . D. 2 1 4 e  . Câu 33. (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hình phẳng ( ) H được giới hạn bởi các đường 2 y x  , 3 2 y x   . Tính diện tích hình phẳng ( ) H A. 2 3 (đvdt) B. 1 3 (đvdt) C. 1 (đvdt) D. 1 6 (đvdt) Câu 34. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số ln , y x  1 y  và đường thẳng 1 x  bằng A. 2 e . B. 2 e  . C. 2e . D. 2 e  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9 Câu 35. Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2 3 y x   và các đường thẳng 0, 0, y x x m    bằng 10 là A. 7 2 m  . B. 5 m  . C. 2 m  . D. 1 m  . Câu 36. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2 4 y x x   và đường thẳng 2 y x  bằng A. 4 . B. 20 3 . C. 4 3 . D. 16 3 Câu 37. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB ) trong hình vẽ bên. A. 5 6 . B. 5 6  . C. 8 15 . D. 8 15  . Câu 38. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 y x x   , 0 y  , 10 x   , 10 x  . A. 2000 3 S  . B.  2 0 0 8 S . C. 2000 S  . D. 2008 3 S  . Câu 39. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x  , trục hoành và hai đường thẳng 3 x   , 2 x  (như hình vẽ bên). Đặt ( ) 1 3 d a f x x    , ( ) 2 1 d b f x x   . Mệnh đề nào sau đây là đúng. A. S a b   . B. S a b   . C. S a b    . D. S b a   . Câu 40. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 y x  và đường thẳng 2 y x  là : A. 4 3 B. 5 3 C. 3 2 D. 23 15 Câu 41. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2 2 1 y x x     , 2 2 4 1 y x x    là A. 8 B. 5 C. 4 D. 10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 Câu 42. (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số   3 2 7 4 0 1 4 1 x khi x f x x khi x              . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số   f x và các đường thẳng 0, 3, 0 x x y    . A. 16 3 . B. 20 3 . C. 10 . D. 9 . Câu 43. (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tính diện tích S của hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường cong 3 12 y x x    và 2 y x   . A. 937 12 S  B. 343 12 S  C. 793 4 S  D. 397 4 S  Câu 44. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho ( ) H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y x  , 2 y x   và trục hoành. Diện tích của ( ) H bằng A. 7 3 . B. 8 3 . C. 10 3 . D. 16 3 . Câu 45. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 1 x y x    và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S là A. 1 ln 2. S   B. 2ln 2 1. S   C. 2ln 2 1. S   D. ln 2 1. S   Câu 46. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 2 1 y x x    và 4 1 y x x    là A. 8 15 . B. 7 15 . C. 2 5 . D. 4 15 . Câu 47. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 ( ) : 1 x H y x    và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng A. ln 2 1 S   . B. 2ln 2 1 S   . C. ln 2 1 S   . D. 2ln 2 1 S   . Câu 48. (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau: A. 10 3 . B. 4 . C. 13 3 . D. 11 3 . O x y 4 2 2 y x  O x y 4 2 2 y x  O x y 4 2 2 y x CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11 Câu 49. (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng ( ) H giới hạn bới parabol 2 12 x y  và đường cong có phương trình 2 4 4 x y   (tham khảo hình vẽ bên ) Diện tích hình phẳng ( ) H bằng: A. ( ) 2 4 3 3   B. 4 3 6   C. 4 3 3   D. 4 3 6   Câu 50. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hàm số ( ) f x xác định và liên tục trên đoạn   5;3  có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích của hình phẳng ( ) ( ) ( ) ( ) , , , A B C D giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  và trục hoành lần lượt là 6; 3; 12; 2 . Tính tích phân ( ) 1 3 2 2 1 1 f x dx         bằng A. 27. B. 25. C. 17. D. 21. Câu 51. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 3 y x  , 2 4 4 y x x    và trục Ox (tham khảo hình vẽ) được tính theo công thức nào dưới đây? CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12 A. ( ) 2 3 2 0 4 4 d x x x x     . B. ( ) 1 2 3 2 0 1 d 4 4 d x x x x x       . C. ( ) 1 2 3 2 0 1 d 4 4 d x x x x x      . D. ( ) 1 2 3 2 0 1 d 4 4 d x x x x x      . Câu 52. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 y x   và nửa trên của đường tròn 2 2 1 x y   bằng? A. 1 4 2   . B. 1 2   . C. 1 2   . D. 1 4   . Câu 53. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho ( ) H là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình 2 10 3 y x x   , khi 1 2 khi 1 x x y x x         . Diện tích của ( ) H bằng? A. 11 6 . B. 13 2 . C. 11 2 . D. 14 3 . Câu 54. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2 Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích S phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây? CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13 A. 4,8 S  . B. 3,9 S  . C. 3,7 S  . D. 3, 4 S  . Câu 55. (THPT TRẦN QUỐC TUẤN - LẦN 1 - 2018) Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( ) 3 2 f x ax bx c    , các đường thẳng 1 x  , 2 x  và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây. A. 51 8 S  . B. 52 8 S  . C. 50 8 S  . D. 53 8 S  . Câu 56. (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Cho hàm số f liên tục trên đoạn   6; 5  , có đồ thị gồm 2 đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị ( ) 5 6 2 d I f x x         . A. 2 35 I    . B. 2 34 I    . C. 2 33 I    . D. 2 32 I    . Dạng 1.2 Bài toán có điều kiện CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14 Câu 57. Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong ( ) C có phương trình 2 1 4 y x  . Gọi 1 2 , S S lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số 1 2 S S bằng A. 3 2 . B. 3 . C. 1 2 . D. 2 . Câu 58. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Kí hiệu ( ) S t là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 y x   , 0 y  , 1 x  , x t  ( ) 1 t  . Tìm t để ( ) 10 S t  . A. 3 t  . B. 4 t  . C. 13 t  . D. 14 t  . Câu 59. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho đường thẳng 3 2 y x  và parabol 2 y x a   ( a là tham số thực dương). Gọi 1 2 , S S lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi 1 2 S S  thì a thuộc khoảng nào dưới đây? A. 2 0; 5       B. 1 9 ; 2 16       C. 2 9 ; 5 20       D. 9 1 ; 20 2       Câu 60. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho đường thẳng 3 4 y x  và parabol 2 1 2 y x a   , ( a là tham số thực dương). Gọi 1 S , 2 S lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi 1 2 S S  thì a thuộc khoảng nào dưới đây? CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15 A. 7 1 ; 32 4       . B. 1 9 ; 4 32       . C. 3 7 ; 16 32       . D. 3 0; 16       . Câu 61. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho đường thẳng 3  y x và parabol 2 2  x a ( a là tham số thực dương). Gọi 1 S và 2 S lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi 1 2  S S thì a thuộc khoảng nào dưới đây? A. 9 1; 8       . B. 9 ;1 10       . C. 4 9 ; 5 10       . D. 4 0; 5       . Câu 62. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hai hàm số ( ) 2 2 2 b c f x a x x x     và ( ) 2 2 x g x dx e    ( a , b , c , d , e   ). Biết rằng đồ thị của hàm số ( ) y f x  và ( ) y g x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 2  ; 1  ; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 37 12 B. 37 6 C. 13 2 D. 9 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16 Câu 63. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hai hàm số ( ) 3 2 1 2 f x ax bx cx     và ( ) 2 1 g x dx ex    ( ) , , , , a b c d e   . Biết rằng đồ thị hàm số ( ) y f x  và ( ) y g x  cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 3  ; 1  ; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 5 B. 9 2 C. 8 D. 4 Câu 64. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hai hàm số ( ) 3 2 1 f x ax bx cx     và ( ) 2 1 2 g x dx ex    ( ) , , , , a b c d e   . Biết rằng đồ thị của hàm số ( ) y f x  và ( ) y g x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt 3; 1;2   (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng A. 253 12 B. 125 12 C. 253 48 D. 125 48 Câu 65. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hai hàm số ( ) 3 2 3 4 f x ax bx cx     và ( ) 2 3 4 g x dx ex    , ( ) , , , , a b c d e   . Biết rằng đồ thị của hàm số ( ) y f x  và ( ) y g x  cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 2  ; 1; 3 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17 A. 253 48 B. 125 24 C. 125 48 D. 253 24 Câu 66. Cho parabol ( ) 2 1 : 2 3 P y x x     cắt trục hoành tại hai điểm , A B và đường thẳng : d y a  ( ) 0 4 a   . Xét parabol ( ) 2 P đi qua , A B và có đỉnh thuộc đường thẳng y a  . Gọi 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) 1 P và d .Gọi 2 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) 2 P và trục hoành. Biết 1 2 S S  , tính 3 2 8 48 T a a a    . A. 99 T  . B. 64 T  . C. 32 T  . D. 72 T  . Câu 67. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm số ( ) y f x  là hàm số đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ( ); '( ) y f x y f x   có diện tích bằng A. 127 40 . B. 127 10 . C. 107 . 5 D. 13 . 5 Câu 68. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) 2 2 , 0 my x mx y m    . Tìm giá trị của m để 3 S  . A. 1 m  B. 2 m  C. 3 m  D. 4 m  Câu 69. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho hình thang cong ( ) H giới hạn bởi các đường e x y  , 0 y  , 0 x  , ln 4 x  . Đường thẳng x k  ( ) 0 ln 4 k   chia ( ) H thành hai phần có diện tích là 1 S và 2 S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 2 2 S S  . A. 4 ln 2 3 k  . B. 8 ln 3 k  . C. ln 2 k  . D. ln 3 k  . Câu 70. (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Hình phẳng ( ) H được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn ( ) y f x  và ( ) y g x  . Biết rằng đồ thị cảu hai hàm số này cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hoành độ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18 lần lượt là 3; 1; 2.   Diện tích của hình phẳng ( ) H ( phần gạch sọc trên hình vẽ bên ) gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 3,11 B. 2,45 C. 3,21 D. 2,95 Câu 71. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho parabol ( ) 2 : P y x  và hai điểm , A B thuộc ( ) P sao cho 2 AB  . Diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và đường thẳng AB là A. 3 . 4 B. 3 . 2 C. 2 . 3 D. 4 . 3 Câu 72. (KTNL GV THUẬN THÀNH 2 BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho Parabol ( ) 2 : 1 P y x   và đường thẳng : 2 d y mx   với m là tham số. Gọi 0 m là giá trị của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và d là nhỏ nhất. Hỏi 0 m nằm trong khoảng nào? A. 1 ( 2; ) 2   . B. (0;1). C. 1 ( 1; ) 2  . D. 1 ( ;3) 2 . Câu 73. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số ( ) f x xác định và liên tục trên đoạn   5;3  . Biết rằng diện tích hình phẳng 1 2 3 , , S S S giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) f x và đường parabol ( ) 2 y g x ax bx c     lần lượt là , , m n p . Tích phân ( ) 3 5 d f x x   bằng A. 208 . 45 m n p     B. 45 208    p n m C. 208 . 45 m n p    D. 208 . 45 m n p     CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19 Câu 74. (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hàm số ( ) f x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các phần ( ) ( ) , A B lần lượt bằng 3 và 7 . Tích phân ( ) 2 0 cos . 5sin 1 d x f x x    bằng A. 4 5  B. 2 C. 4 5 D. 2  Câu 75. Cho hàm số ( ) y f x  có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần , A B lần lượt bằng 11 và 2. Giá trị của ( ) 0 1 3 1 d I f x x     bằng A. 3. B. 13 . 3 C. 9. D. 13. Câu 76. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Hình phẳng ( ) H được giới hạn bởi đồ thị ( ) C của hàm đa thức bậc ba và parabol ( ) P có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20 A. 37 12 . B. 7 12 . C. 11 12 . D. 5 12 . Câu 77. (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Parabol 2 2  x y chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 thành hai phần có diện tích 1 S và 2 S , trong đó 1 2  S S . Tìm tỉ số 1 2 S S . A. 3 2 12    . B. 9 2 3 2     . C. 3 2 9 2     . D. 3 2 21 2     . Câu 78. Tìm số thực a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm 2 2 6 2 3 1 x ax a y a     và 2 6 1 a ax y a    có diện tích lớn nhất. A. 3 1 2 . B. 1. C. 2. D. 3 3 . Câu 79. (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên  , đồ thị hàm số ( ) y f x  như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng phần sọc kẻ bằng 3 . Tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 2 3 1 dx 1 dx 2 8 dx T f x f x f x            A. 9 2 T  . B. 6 T  . C. 0 T  . D. 3 2 T  . Câu 80. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho hàm số 4 2 6 y x x m    có đồ thị ( ) m C . Giả sử ( ) m C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi ( ) m C và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó a m b  (với a , b là các số nguyên, 0 b  , a b là phân số tối giản). Giá trị của biểu thức S a b   là: A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. Câu 81. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol (P) có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21 A. 3 7 1 2 . B. 7 . 1 2 C. 1 1 1 2 . D. 5 1 2 . Câu 82. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho các số , p q thỏa mãn các điều kiện: 1 p  , 1 q  , 1 1 1 p q   và các số dương , a b . Xét hàm số: 1 p y x   ( ) 0 x  có đồ thị là ( ) C . Gọi ( ) 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) C , trục hoành, đường thẳng x a  , Gọi ( ) 2 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) C , trục tung, đường thẳng y b  , Gọi ( ) S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường thẳng x a  , y b  . Khi so sánh 1 2 S S  và S ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây? A. p q a b ab p q   B. 1 1 1 1 p q a b ab p q       . C. 1 1 1 1 p q a b ab p q       . D. p q a b ab p q   . Câu 83. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ( ) ; O R và ( ) ; O R  , 4 OO R   . Trên đường tròn ( ) ; O R lấy hai điểm , A B sao cho 3 AB a  . Mặt phẳng ( ) P đi qua A , B cắt đoạn OO  và tạo với đáy một góc 60  , ( ) P cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng A. 2 4 3 3 2 R           . B. 2 2 3 3 4 R           . C. 2 2 3 3 4 R           . D. 2 4 3 3 2 R           . Câu 84. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN 2 - 2018) Cho parabol ( ) 2 : P y x  và một đường thẳng d thay đổi cắt ( ) P tại hai điểm A , B sao cho 2018 AB  . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn nhất max S của . S CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22 A. 3 2018 1 6 max S   . B. 3 2018 3 max S  . C. 3 2018 1 6 max S   . D. 3 2018 3 max S  . Câu 85. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số 4 2 y ax bx c    có đồ thị ( ) C , biết rằng ( ) C đi qua điểm ( ) 1;0 A  , tiếp tuyến d tại A của ( ) C cắt ( ) C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị ( ) C và hai đường thẳng 0 x  ; 2 x  có diện tích bằng 28 5 (phần tô màu trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) C và hai đường thẳng 1 x   ; 0 x  có diện tích bằng A. 2 5 . B. 1 4 . C. 2 9 . D. 1 5 . Câu 86. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2 4 y x   , trục hoành và đường thẳng 2 x   , x m  , ( ) 2 2 m    . Tìm số giá trị của tham số m để 25 3 S  . A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1. Câu 87. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol ( ) 2 : P y x  và hai đường thẳng y a  , y b  ( ) 0 a b   (hình vẽ). Gọi 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) P và đường thẳng y a  (phần tô đen); ( ) 2 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) P và đường thẳng y b  (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của a và b thì 1 2 S S  ? A. 3 4 b a  . B. 3 2 b a  . C. 3 3 b a  . D. 3 6 b a  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23 Câu 88. (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Cho hình phẳng giới hạn bởi Elip 2 2 1 4 x y   , parabol 2 3 2 y x  và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) có diện tích 3 a c T b d    (với * , ; , ; , a c a c b d b d     là các phân số tối giản). Tính S a b c d     . A. 32 S  . B. 10 S  . C. 15 S  . D. 21 S  . Câu 89. Cho hàm số ( ) 3 2 , , y x ax bx c a b c       có đồ thị ( ) C và ( ) 2 , , y mx nx p m n p      có đồ thị ( ) P như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) C và ( ) P có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây? A. ( ) 0;1 . B. ( ) 1;2 . C. ( ) 2;3 . D. ( ) 3;4 . Dạng 2. Ứng dụng tích phân để tìm thể tích Dạng 2.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện Câu 90. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , trục Ox và hai đường thẳng ( ) , x a x b a b    , xung quanh trục Ox . A. ( ) b a V f x dx   B. ( ) 2 b a V f x dx    C. ( ) 2 b a V f x dx   D. ( ) b a V f x dx    CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24 Câu 91. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn   ; a b . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , trục hoành và hai đường thẳng ( ) , x a x b a b    . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức: A. ( ) 2 b a V f x dx    B. ( ) 2 b a V f x dx    C. ( ) 2 2 b a V f x dx    D. ( ) 2 2 b a V f x dx    Câu 92. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường 2 3 y x   , 0 y  , 0 x  , 2 x  . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( ) H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) 2 2 0 3 V x dx    B. ( ) 2 2 0 3 V x dx     C. ( ) 2 2 2 0 3 V x dx    D. ( ) 2 2 2 0 3 V x dx     Câu 93. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong  x y e , trục hoành và các đường thẳng  0 x ,  1 x . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. ( )    2 1 2 e V B.   2 1 2 e V C.   2 3 e V D. ( )    2 1 2 e V Câu 94. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong 2 1 y x   , trục hoành và các đường thẳng 0, 1 x x   . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. 2 V  B. 4 3 V   C. 2 V   D. 4 3 V  Câu 95. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong   2 c os , y x trục hoành và các đường thẳng    0 , 2 x x . Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A.     ( 1 ) V B.    1 V C.    1 V D.     ( 1 ) V Câu 96. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong 2 sin y x   , trục hoành và các đường thẳng 0 x  , x   . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? A. ( ) 2 1 V     B. 2 V   C. ( ) 2 1 V    D. 2 2 V   Câu 97. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Kí hiệu ( ) H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2( 1) , x y x e   trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( ) H xung quanh trục Ox A. ( ) 2 5 V e    B. ( ) 4 2 V e    C. 2 5 V e   D. 4 2 V e   Câu 98. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường thẳng 2 2, 0, 1, 2 y x y x x      . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( ) H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới đây đúng? CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25 A. ( ) 2 2 1 2 d V x x    B. ( ) 2 2 2 1 2 d V x x     C. ( ) 2 2 2 1 2 d V x x    D. ( ) 2 2 1 2 d V x x     Câu 99. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng 1 x  và 3 x  , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 1 3 x   ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 2 3 2 x  . A. 124 3 V  B. (32 2 15) V    C. 32 2 15 V   D. 124 3 V   Câu 100. (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2 : P y x  và đường thẳng : 2 d y x  quay xung quanh trục Ox . A. ( ) 2 2 2 0 2 x x dx    . B. 2 2 2 4 0 0 4x dx x dx      . C. 2 2 2 4 0 0 4x dx x dx      . D. ( ) 2 2 0 2x x dx    Câu 101. (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường 2 3, 0, 0, 2 y x y x x      . Gọi V là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( ) H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( ) 2 2 2 0 3 d V x x     . B. ( ) 2 2 0 3 d V x x    . C. ( ) 2 2 2 0 3 d V x x    . D. ( ) 2 2 0 3 d V x x     . Câu 102. (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số sin y x  , trục Ox, trục Oy và đường thẳng 2 x   , xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 2 0 sin V xdx    B. 2 0 sin V xdx    C. 2 2 0 sin V xdx     D. 2 0 sin V xdx     Câu 103. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2 2 y x x   , trục hoành, đường thẳng 0 x  và 1 x  quanh trục hoành bằng A. 16 15  . B. 2 3  . C. 4 3  . D. 8 15  . Câu 104. (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho miền phẳng ( ) D giới hạn bởi y x  , hai đường thẳng 1 x  , 2 x  và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay ( ) D quanh trục hoành. A. 3  . B. 3 2  . C. 2 3  . D. 3 2 . Câu 105. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường 2 2   y x x , 0  y . Quay ( ) H quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26 A. ( ) 2 2 0 2   x x dx B. ( ) 2 2 2 0 2    x x dx C. ( ) 2 2 2 0 2   x x dx D. ( ) 2 2 0 2    x x dx Câu 106. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường tan x, 0, 0, 4 y y x x      quay xung quanh trục Ox . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra. A. ln 2 2  . B. ln 3 4  C. 4  . D. ln 2  . Câu 107. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có phương trình 2 2 1 25 16 x y   . V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 550 B. 400 C. 670 D. 335 Câu 108. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường 2 2 y x x   , trục hoành và đường thẳng 1 x  . Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi ( ) H khi quay ( ) H quanh trục Ox . A. 4 3 V   . B. 16 15 V   . C. 7 8 V   . D. 15 8 V   . Câu 109. (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( ) H xác định bởi các đường 3 2 1 3 y x x   , 0 y  , 0 x  và 3 x  quanh trục Ox là A. 81 35  . B. 81 35 . C. 71 35  . D. 71 35 . Câu 110. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parapol (P): 2 y x  và đường thẳng d: 2 y x  quay xung quanh trục Ox bằng: A. 2 2 0 (2 )d x x x    . B. 2 2 2 0 ( 2 ) d x x x    . C. 2 2 2 4 0 0 4 d d x x x x      . D. 2 2 2 4 0 0 4 d d x x x x      . Câu 111. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình phẳng ( ) D được giới hạn bởi hai đường ( ) 2 2 1 y x   ; 2 1 y x   . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do ( ) D quay quanh trục Ox . A. 64 15  . B. 32 15 . C. 32 15  . D. 64 15 . Câu 112. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường tan y x  , 0 y  , 0 x  , 4 x   quay xung quanh trục Ox . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng: A. 5 B. 1 4          C. 3 2  D. 1 2          CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27 Câu 113. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 y x   , 0 y  và 9 x  quay xung quanh trục Ox . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành. A. 7 6 V  . B. 5 6 V   . C. 7 11 V   . D. 11 6 V   . Câu 114. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình ( ) H quanh Ox với ( ) H được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4 y x x   và trục hoành. A. 31 3  . B. 32 3  . C. 34 3  . D. 35 3  . Câu 115. (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi đồ thị 2 2 y x x   và trục hoành. Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh ra khi cho ( ) H quay quanh Ox . A. 4 3 V   . B. 16 15 V   . C. 16 15 V  . D. 4 3 V  . Câu 116. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Tính thể tích của vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị ( ) 2 : 2 P y x x   và trục Ox bằng: A. 19 15 V   . B. 13 15 V   . C. 17 15 V   . D. 16 15 V   . Câu 117. Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y x   , 3 y x    , 1 x  xoay quanh trục Ox . A. 41 2  . B. 43 2  . C. 41 3  . D. 40 3  . Câu 118. (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Ký hiệu ( ) H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 ( ) . x y f x x e   , trục hoành, đường thẳng 1 x  . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay ( ) H quanh trục hoành. A. 2 1 V e   . B. ( ) 2 1 V e    . C. 2 1 1 4 V e    . D. ( ) 2 1 1 4 V e    . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28 Câu 119. (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho vật thể ( ) T giới hạn bởi hai mặt phẳng 0; 2 x x   . Cắt vật thể ( ) T bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại ( ) 0 2 x x   ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng ( ) 1 x x e  . Thể tích vật thể ( ) T bằng A. ( ) 4 13 1 4 e   . B. 4 13 1 4 e  . C. 2 2e . D. 2 2 e  . Câu 120. (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hai mặt cầu ( ) ( ) 1 2 , S S có cùng bán kính 3 R  thỏa mãn tính chất tâm của ( ) 1 S thuộc ( ) 2 S và ngược lại. Tính thể tích V phần chung của hai khối cầu tạo bởi ( ) ( ) 1 2 , S S . A. 45 8 V   . B. 45 4 V   . C. 45 4 V  . D. 45 8 V  . Câu 121. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG 4 - 2018) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x  và 2 y x  quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng A. 6  . B. 3  . C. 2 15  . D. 4 15  . Câu 122. (THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Cho hình ( ) H giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 3 9 y x  , cung tròn có phương trình 2 4 y x   (với 0 2) x   và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( ) H quanh trục hoành là 3 a c V b d           , trong đó * , , , a b c d   và , a c b d là các phân số tối giản. Tính P a b c d     . A. 52 P  . B. 40 P  . C. 46 P  . D. 34 P  . Dạng 2.2 Bài toán có điều kiện Câu 123. (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng ( ) H được giới hạn bởi đường cong 2 2 y m x   ( m là tham số khác 0 ) và trục hoành. Khi ( ) H quay xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích V . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để 1000 V   . A. 18. B. 20. C. 19. D. 21. Câu 124. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 , , , , , 0 y f x ax bx cx d a b c d a         có đồ thị ( ) C . Biết rằng đồ thị ( ) C tiếp xúc với CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29 đường thẳng 4 y  tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số ( ) ' y f x  cho bởi hình vẽ dưới đây. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị ( ) C và trục hoành khi quay xung quanh trục Ox . A. 725 35  . B. 1 35  . C. 6  . D. đáp án khác. Câu 125. (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x  , 0 y  và 4 x  quanh trục Ox . Đường thẳng ( ) 0 4 x a a    cắt đồ thị hàm số y x  tại M (hình vẽ). Gọi 1 V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng 1 2 V V  . Khi đó A. 2 a  . B. 2 2 a  . C. 5 2 a  . D. 3 a  . Câu 126. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình phẳng ( ) D giới hạn bởi các đường y x    , in s y x  và 0 x  . Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do ( ) D quay quanh trục hoành và ( ) 4 , V p p     . Giá trị của 24 p bằng A. 8 . B. 4 . C. 24 . D. 12 . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30 Câu 127. (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ( ) 2 2 1 4 : 4 4, 4 x y x H y x x                , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 16 : 2 4 2 4 x y H x y x y                . Cho ( ) ( ) 1 2 , H H xoay quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích lần lượt 1 2 , V V . Đẳng thức nào sau đây đúng. A. 1 2 V V  . B. 1 2 1 2 V V  . C. 1 2 2 V V  . D. 1 2 3 2 V V  . Câu 128. (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho hình thang ABCD có AB song song CD và , 2 AB AD BC a CD a     . Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang ABCD quanh trục là đường thẳng AB . A. 3 5 4 a  . B. 3 5 2 a  . C. 3 3 2 2 3 a   . D. 3 a  . Câu 129. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Cho đồ thị ( ) ( ) : C y f x x   . Gọi ( ) H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) C , đường thẳng 9 x  và trục Ox . Cho điểm M thuộc đồ thị ( ) C và điểm ( ) 9;0 A . Gọi 1 V là thể tích khối tròn xoay khi cho ( ) H quay quanh trục Ox , 2 V là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox . Biết rằng 1 2 2 V V  . Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) C và đường thẳng OM . A. 3 S  . B. 27 3 16 S  . C. 3 3 2 S  . D. 4 3 S  . Dạng 3. Ứng dụng tích phân để giải bài toán chuyển động Dạng 3.1 Bài toán cho biết hàm số của vận tốc, quảng đường Câu 130. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) ( ) 2 1 13 m/s 100 30 v t t t    , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng ( ) 2 m/s a  ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. ( ) 15 m/s  B. ( ) 9 m/s C. ( ) 42 m/s  D. ( ) 25 m/s  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31 Câu 131. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) ( ) 2 1 58 / 120 45 v t t t m s   , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng ( ) 2 / a m s ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. ( ) 21 / m s B. ( ) 25 / m s C. ( ) 36 / m s D. ( ) 30 / m s Câu 132. (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) 5 10    v t t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m B. 2m C. 10m D. 20m Câu 133. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) ( ) 2 1 59 / 150 75 v t t t m s   , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc a bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng ( ) 2 / a m s ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. ( ) 15 / m s B. ( ) 20 / m s C. ( ) 16 / m s D. ( ) 13 / m s Câu 134. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) 2 1 11 ( ) / 180 18 v t t t m s   , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng ( ) 2 / a m s ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. ( ) 15 / m s B. ( ) 10 / m s C. ( ) 7 / m s D. ( ) 22 / m s Câu 135. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Một vật chuyển động theo quy luật    3 2 1 6 2 s t t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật đó bắt đầu chuyển động và ( ) m s là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bào nhiêu? A. ( ) 1 8 m / s B. ( ) 1 0 8 m / s C. ( ) 6 4 m / s D. ( ) 2 4 m / s Câu 136. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một ô tô đang chạy với tốc độ ( ) 20 / m s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) ( ) 5 20 / v t t m s    , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ( m )? A. 20 m . B. 30 m . C. 10 m . D. 40 m . Câu 137. (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Một ô tô đang chạy với vận tốc là 12 ( ) / m s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) 6 12 v t t    ( ) / m s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32 A. 8m . B. 12m . C. 15m . D. 10m . Câu 138. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc 15 m /s thì người lái xe hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) ( ) 3 15 m /s v t t    , trong đó t (giây). Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét? A. 38m. B. 37,2m. C. 37,5m. D. 37m. Câu 139. (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) 10 20 v t t    (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 5 m B. 20 m C. 40 m D. 10 m Câu 140. (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 / m s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) ( ) 2 10 / v t t m s    , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng. A. 55m . B. 25m . C. 50m . D. 16m . Câu 141. (THPT THỰC HÀNH - TPHCM - 2018) Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc 0 v , sau 6 giây chuyển động thì gặp chướng ngại vật nên bắt đầu giảm tốc độ với vận tốc chuyển động 5 ( ) ( / ), ( 6) 2 v t t a m s t     cho đến khi dừng hẳn. Biết rằng kể từ lúc chuyển động đến lúc dừng thì chất điểm đi được quãng đường là 80m. Tìm 0 v . A. 0 35 / v m s  . B. 0 25 / v m s  . C. 0 10 / v m s  . D. 0 20 / v m s  . Câu 142. (THPT LƯƠNG THẾ VINH - HN - LẦN 1 - 2018) Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ( ) 7 v t t  ( ) m/s . Đi được 5 ( ) s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc 35 a   ( ) 2 m/s . Tính quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn? A. 87.5 mét. B. 96.5 mét. C. 102.5 mét. D. 105 mét. Câu 143. (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NĐ - LẦN 1 - 2018) Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc 0 15 m/s v  thì tăng tốc với gia tốc ( ) ( ) 2 2 4 m/s a t t t   . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 70, 25 m . B. 68, 25 m . C. 67, 25 m . D. 69,75 m . Câu 144. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Một chất điểm chuyển động theo phương trình ( ) 2 3 10 9 s t t t t     trong đó s tính bằng mét, t tính bằng giây. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất (tính từ thời điểm ban đầu) là A. ( ) 6 s t  . B. ( ) 3 s t  . C. ( ) 2 s t  . D. ( ) 5 s t  . Câu 145. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ( ) ( ) 1 7 m/ s v t t  . Đi được 5s , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc ( ) 2 70 m/ s a   . Tính quãng đường S đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. ( ) 96, 25 m S  . B. ( ) 87,5 m S  . C. ( ) 94 m S  . D. ( ) 95,7 m S  . Câu 146. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ( ) ( ) 1 2 m/s v t t  . Đi được 12 giây, người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33 động chậm dần đều với gia tốc ( ) 2 12 m/s a   . Tính quãng đường ( ) m s đi được của ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn? A. ( ) 168 m s  . B. ( ) 166 m s  . C. ( ) 144 m s  . D. ( ) 152 m s  . Câu 147. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1m . Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức ( ) 16 4 A v t t   (đơn vị tính bằng m/s ), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để có 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu? A. 33 . B. 12 . C. 31. D. 32 . Câu 148. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là ( ) 2 3 a t t t   . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. A. 136m . B. 126m . C. 276m . D. 216m . Câu 149. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc ( ) 2 10 v t t t   ( ) / m s với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc ( ) 200 / m s thì rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là A. ( ) 2500 3 m . B. ( ) 2000 m . C. ( ) 500 m . D. ( ) 4000 3 m . Câu 150. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) ( ) 2 1 59 / 150 75 v t t t m s   , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc a bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng ( ) 2 / a m s ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. ( ) 20 / m s . B. ( ) 16 / m s . C. ( ) 13 / m s . D. ( ) 15 / m s . Câu 151. (THPTQG 2018 - MÃ ĐỀ 104) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) ( ) 2 1 58 / 120 45 v t t t m s   , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng ( ) 2 / a m s ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. ( ) 25 / m s . B. ( ) 36 / m s . C. ( ) 30 / m s . D. ( ) 21 / m s . Câu 152. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Một ôtô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc ( ) ( ) 2 6 2 / a t t m s   , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ôtô bắt đầu chuyển động. Hỏi quảng đường ôtô đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ôtô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét? A. 18m . B. 36m . C. 22,5m . D. 6,75m . Dạng 3.2 Bài toán cho biết đồ thị của vận tốc, quảng đường CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34 Câu 153. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc ( / ) v k m h phụ thuộc vào thời gian ( ) t h có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh ( 2 ; 9 ) I và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật chuyển động được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A.  2 1, 5 8 ( ) s k m B.  2 3 , 2 5 ( ) s k m C.  1 3 , 8 3 ( ) s k m D.  1 5 , 5 0 ( ) s k m Câu 154. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh 1 ; 8 2 I       và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quảng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy? A. 2,3 s  (km) B. 4,5 s  (km) C. 5,3 s  (km) D. 4 s  (km) Câu 155. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc ( ) km/h v phụ thuộc thời gian ( ) h t có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh ( ) 2;9 I và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. A. ( ) 25,25 km s  B. ( ) 24,25 km s  C. ( ) 24,75 km s  D. ( ) 26,75 km s  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35 Câu 156. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh ( ) 2 ; 9 I với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó. A.  2 4 s (km) B.  2 8 , 5 s (km) C.  2 7 s (km) D.  2 6 , 5 s (km) Câu 157. (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc ( ) / v km h phụ thuộc vào thời gian ( ) t h có đồ thị như hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol có đỉnh ( ) 3;9 I và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận tốc là một đường thẳng có hệ số góc bằng 1 4 . Tính quảng đường s mà vật di chuyển được trong 6 giờ? A. ( ) 130 3 km . B. ( ) 9 km . C. ( ) 40 km . D. ( ) 134 3 km . Câu 158. (THPT THỰC HÀNH - TPHCM - 2018) Một người chạy trong 2 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là 1 phần của đường Parabol với đỉnh ( ) 1;5 I và trục đối xứng song song với trục tung Ov như hình vẽ. Tính quảng đường S người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút kể từ lúc bắt đầu chạy (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân). CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36 A. 2,11km . B. 6,67 km . C. 5,63 km. D. 5,63km . Câu 159. (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - HKII - 2018) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, với vận tốc v ( ) km/h phụ thuộc vào thời gian ( ) h t có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh 1 ;8 2 I       và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ. Tính quãng đường S người đó chạy được trong thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. A. 5,3 ( ) km . B. 4,5 ( ) km . C. 4 ( ) km . D. 2,3 ( ) km . Câu 160. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc (km/ h) v phụ thuộc thời gian (h) t có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh (1;1) I và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37 A. 6 (km). s  B. 8 (km). s  C. 40 (km). 3 s  D. 46 (km). 3 s  Dạng 4. Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế Dạng 4.1 Bài toán liên quan đến diện tích Câu 161. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh 1 2 1 2 , , , A A B B như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 2 200.000 nđ v / m và phần còn lại 2 100.000 nđ v / m . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết 1 2 8m A A  , 1 2 6m B B  và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có 3m MQ  ? A. 5.526.000 đồng. B. 5.782.000 đồng C. 7.322.000 đồng. D. 7.213.000 đồng. Câu 162. (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Một biển quảng cáo với 4 đỉnh , , , A B C D như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 2 200.000(đ/m ) sơn phần còn lại là 2 100.000đ/m . Cho 8 ; 10 ; 4 AC m BD m MN m    Hỏi số tiền sơn gần với số tiền nào sau đây: A. 12204000 . đ . B. 14207000 . đ . C. 11503000 . đ . D. 10894000 . đ Câu 163. Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên. P Q N M B 1 A 2 B 2 A 1CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38 Phần tô đậm được đính đá với giá thành 2 500.000đ/m . Phần còn lại được tô màu với giá thành 2 250.000 / đ m . Cho 4 ; 8 . AB dm BC dm   Hỏi để trang trí 1000 họa tiết như vậy cần số tiền gần nhất với số nào sau đây. A. 105660667đ . B. 106666667đ . C. 107665667đ . D. 108665667đ . Câu 164. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng ( ) 4 m . Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150.000 đồng/m 2 và 100.000 đồng/m 2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) A. 3.738.574 (đồng). B. 1.948.000 (đồng). C. 3.926.990 (đồng). D. 4.115.408 (đồng). Câu 165. (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu ( phần được gạch chéo trên hình vẽ). Biết rằng phần gạch chéo là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 2 1 y x   và nửa trên của đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng ( ) 2 m Tính số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu biết rằng để trồng mỗi 2 m hoa cần ít nhất là 250000 đồng. A. 3 2 250000 6   π . B. 3 10 250000 6   π . C. 3 10 250000 3   π . D. 3 2 250000 6   π Câu 166. (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ bên. Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là 8 m và 4 m , 1 , F 2 F là hai tiêu điểm của elip. Phần A , B dùng để trồng hoa, phần C , D dùng để trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét 4m 4m 4mCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39 vuông hoa và cỏ lần lượt là 250.000 đ và 150.000 đ. Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến hàng nghìn). A. 5.676.000 đ. B. 4.766.000 đ. C. 4.656.000 đ. D. 5.455.000 đ. Câu 167. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN LẦN 1 NĂM 2018-2019) Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phân giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây? A. 202 triệu đồng. B. 208 triệu đồng. C. 218 triệu đồng. D. 200 triệu đồng. Câu 168. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Người ta xây một sân khấu với sân có dạng của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 m và 15 m. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 m. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân khấu gần với số nào nhất trong các số dưới đây? A. 218 triệu đồng. B. 202 triệu đồng. C. 200 triệu đồng. D. 218 triệu đồng. Câu 169. (TT DIỆU HIỀN - CẦN THƠ - 2018) Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A. 33750000 đồng. B. 3750000 đồng. C. 12750000 đồng. D. 6750000 đồng. Câu 170. (THPT NGÔ QUYỀN - QUẢNG NINH - HKII - 2018) Một người có miếng đất hình tròn có bán kính bằng 5 m. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được 100 nghìn. Tuy nhiên cần có 1 khoảng trống để dựng 1 cái chòi và để đồ dùng nên người này bớt lại 1 phần đất nhỏ không trồng cây (phần màu trắng như hình vẽ), trong đó 6 AB m  . Hỏi khi thu hoạch cây thì người này thu được bao nhiêu tiền ? A. 3722 nghìn đồng. D. 7445 nghìn đồng. C. 7446 nghìn đồng. B. 3723 nghìn đồng. Câu 171. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng ( ) 100 m và trục nhỏ bằng ( ) 80 m được chia làm hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi 2 m trồng cây con và 4000 mỗi 2 m trồng rau. Hỏi thu nhập của cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến phần nghìn). A. 31904000 . B. 23991000 . C. 10566000 . D. 17635000 . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40 Câu 172. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m , chiều rộng chân đế 12 m . Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số AB CD bằng A. 1 2 . B. 4 5 . C. 3 1 2 . D. 3 1 2 2  . Câu 173. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết 5 AB  cm, 4 OH  cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. A. 2 160 cm 3 . B. 2 140 cm 3 . C. 2 14 cm 3 . D. 2 50 cm . Câu 174. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô mầu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng A. 2 800cm . B. 2 800 cm 3 . C. 2 400 cm 3 . D. 2 250cm . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41 Dạng 4.2 Bài toán liên quan đến thể tích Câu 175. (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). A. 3 19 m . B. 3 21m . C. 3 18m . D. 3 40 m . Câu 176. (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Để kỷ niệm ngày 26-3. Chi đoàn 12A dự định dựng một lều trại có dạng parabol, với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía bên trong trại để lớp 12A cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp. A. 3 30 m B. 3 36 m C. 3 40 m D. 3 41 m Câu 177. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ 1 20 R cm  , bán kính đường tròn lớn 2 30 R cm  và mặt cắt khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trục, vuông góc mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Bỏ qua độ dày vỏ săm. Tính thể tích không khí được chứa bên trong săm. A. 2 3 1250 cm  . B. 2 3 1400 cm  . C. 2 3 2500 cm  . D. 2 3 600 cm  . Câu 178. (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng 5 OO   cm, 10 OA  cm, 20 OB  cm, đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm A . Thể tích của chiếc mũ bằng y O xCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42 A. 2750 3  ( ) 3 cm B. 2500 3  ( ) 3 cm C. 2050 3  ( ) 3 cm D. 2250 3  ( ) 3 cm Câu 179. Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán kính bằng 60 cm. Tính thể tích V của chiếc trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). A. 3 344963cm V  B. 3 344964cm V  C. 3 208347cm V  D. 3 208346cm V  Câu 180. Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng R . Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc 0 30 ta thu được hai khối gỗ có thể tích là 1 V và 2 V , với 1 2 V V  . Thể tích 1 V bằng? A. 3 1 2 3 9 R V  . B. 3 1 3 27 R V   . C. 3 1 3 18 R V   . D. 3 1 3 27 R V  . Câu 181. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho một mô hình 3 D  mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài ( ) 5 c m ; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức 2 3 5 y x   ( ) c m , với x ( ) c m là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị 3 cm ) không gian bên trong đường hầm mô hình ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ) A. 29 . B. 27 . C. 31. D. 33 . Câu 182. (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43 Các tứ giác , ABCD CDPQ là các hình vuông cạnh 2,5cm . Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có 3,5 BE cm  . Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol ( ) P có đỉnh parabol nằm trên cạnh EF . Thể tích của chi tiết máy bằng A. 3 395 24 cm . B. 3 50 3 cm . C. 3 125 8 cm . D. 3 425 24 cm . Câu 183. (THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28 c m , trục nhỏ 25 c m . Biết cứ 3 1000 c m dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể. A. 183000 đồng. B. 180000 đồng. C. 185000 đồng. D. 190000 đồng. Câu 184. (THPT THỰC HÀNH - TPHCM - 2018) Một cốc rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc (bổ dọc cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được (làm tròn 2 chữ số thập phân) A. 3 320 V cm  . B. 3 1005,31 V cm  . C. 3 251,33 V cm  . D. 3 502,65 V cm  . Câu 185. (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Có một cốc nước thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44 A. 3 240cm . B. 3 240 cm  . C. 3 120cm . D. 3 120 cm  . Câu 186. (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ ( ) 1 1 x x    thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích V của vật thể đó là A. 3 V  . B. 3 3 V  . C. 4 3 3 V  . D. V   . Câu 187. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015 . Nền sân là một elip ( ) E có trục lớn dài 150m , trục bé dài 90m (hình 3). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của ( ) E và cắt elip ở , M N (hình 3) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I (phần tô đậm trong hình 4) với MN là một dây cung và góc  0 90 . MIN  Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu? CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45 Hình 3 A. 3 57793m . B. 3 115586m . C. 3 32162m . D. 3 101793m . Câu 188. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m , trục bé bằng 0,8m , chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m . Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm). A. 3 1,52m V  . B. 3 1,31m V  . C. 3 1, 27m V  . D. 3 1,19m V  . Câu 189. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là 280 cm. Giả sử ( ) h t là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là 3 1 ( ) 3 500 h t t    và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao lâu thì bơm được số nước bằng 3 4 độ sâu của hồ bơi (làm tròn đến giây)? A. 2 giờ 36 giây. B. 2 giờ 34 giây. C. 2 giờ 35 giây. D. 2 giờ 36 giây. Câu 190. (THPT NGÔ QUYỀN - QUẢNG NINH - HKII - 2018) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi ( ) h t là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho ( ) 2 6 2 h t at bt    và ban đầu bể không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là 3 90m , sau 6 giây thì thể tích nước trong bể là 3 504m . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây. A. 3 1458m . B. 3 600m . C. 3 2200m . D. 3 4200 . m Dạng 5. Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán đại số Câu 191. (PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm ( ) f x  liên tục trên đoạn   0;5 và đồ thị hàm số ( ) y f x   trên đoạn   0;5 được cho như hình bên. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46 Tìm mệnh đề đúng A. ( ) ( ) ( ) 0 5 3 f f f   . B. ( ) ( ) ( ) 3 0 5 f f f   . C. ( ) ( ) ( ) 3 0 5 f f f   . D. ( ) ( ) ( ) 3 5 0 f f f   . Câu 192. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số ( ) y f x  . Đồ thị của hàm số ( ) y f x   như hình bên. Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 1 g x f x x    . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) ( ) ( ) 1 3 3 g g g    B. ( ) ( ) ( ) 1 3 3 g g g    C. ( ) ( ) ( ) 3 3 1 g g g    D. ( ) ( ) ( ) 3 3 1 g g g    Câu 193. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số  ( ) y f x . Đồ thị   ( ) y f x của hàm số như hình bên. Đặt ( ) ( )   2 2 g x f x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) ( ) ( )    3 3 1 g g g B. ( ) ( ) ( )    1 3 3 g g g CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47 C. ( ) ( ) ( )     3 3 1 g g g D. ( ) ( ) ( )    1 3 3 g g g Câu 194. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số ( )  y f x . Đồ thị hàm số ( )  ' y f x như hình vẽ. Đặt ( ) ( )   2 2 . h x f x x Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) ( ) ( )    4 2 2 h h h B. ( ) ( ) ( )    2 2 4 h h h C. ( ) ( ) ( )    4 2 2 h h h D. ( ) ( ) ( )    2 4 2 h h h Câu 195. Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên  và có đồ thị của hàm số ( ) f x  như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( ) ( ) ( ) 0 2 1 f f f    . B. ( ) ( ) ( ) 0 1 2 f f f    . C. ( ) ( ) ( ) 2 0 1 f f f    . D. ( ) ( ) ( ) 1 0 2 f f f    . Câu 196. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số ( ). f x Đồ thị của hàm số ( )   y f x trên   3;2  như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol 2 .    y ax bx c ) Biết ( ) 3 0,   f giá trị của ( ) ( ) 1 1   f f bằng A. 23 6 B. 31 6 C. 35 3 D. 9 2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48 Câu 197. (THPT LƯƠNG VĂN CAN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số ( ) y f x  . Đồ thị của hàm số ( ) y f x   như hình vẽ. Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 1 g x f x x    . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) ( ) ( ) 1 3 5 g g g    . B. ( ) ( ) ( ) 1 5 3 g g g    . C. ( ) ( ) ( ) 5 1 3 g g g    . D. ( ) ( ) ( ) 3 5 1 g g g    . Câu 198. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hàm số ( ) 3 2 ( ) , , , , 0 y f x ax bx cx d a b c d a         có đồ thị là ( ) C . Biết rằng đồ thị ( ) C đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số '( ) y f x  cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị (4) (2) H f f   ? A. 45 H  . B. 64 H  . C. 51 H  . D. 58 H  . Câu 199. (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số ( ) y f x  . Đồ thị của hàm số ( ) y f x   như hình vẽ bên. Đặt   ( ) 2;6 max M f x   ,   ( ) 2;6 min m f x   , T M m   . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ( ) ( ) 0 2 T f f    . B. ( ) ( ) 5 2 T f f    . C. ( ) ( ) 5 6 T f f   . D. ( ) ( ) 0 2 T f f   . PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng 1. Ứng dụng tích phân để tìm diện tích Dạng 1.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , trục hoành và hai đường thẳng , x a x b   được tính bởi công thức: ( ) d b a S f x x   . Câu 2. Chọn B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49 2 2 0 0 2 d 2 d x x S x x     (do   2 0, 0;2 x x    ). Câu 3. Chọn A Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường e x y  , 0 y  , 0 x  , 2 x  là: 2 0 d x S e x   . Câu 4. Chọn C Ta có: ( ) ( ) ( ) 1 5 1 5 1 1 1 1 ( ) d d d d S f x x f x x f x x f x x           . Câu 5. Chọn D ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 dx= dx dx S f x f x f x        Nhìn hình ta thấy hàm số ( ) f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn   1;1  nên ( ) ( ) 1 1 1 1 dx dx f x f x      ; hàm số ( ) f x liên tục và nhận giá trị âm trên đoạn   1;2 nên ( ) ( ) 2 2 1 1 dx dx f x f x     Vậy ( ) ( ) 1 2 1 1 dx dx S f x f x      Câu 6. Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm 3 2 3 2 0 2 0 1 2 x x x x x x x x x x                  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y x x   và đồ thị hàm số 2 y x x   là: ( ) ( ) ( ) 1 0 1 3 2 3 2 3 2 2 2 0 2 2                S x x x x dx x x x dx x x x dx 0 1 4 3 4 3 2 2 2 0 16 8 1 1 37 4 1 4 3 4 3 4 3 4 3 12                                        x x x x x x . Câu 7. Chọn A Ta có: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50 ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 1 0 d d d S f x x f x x f x x         ( ) ( ) 0 2 1 0 d d f x x f x x a b          . Câu 8. Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được 2 2 3 4 1 x x x      với 0 x 2   nên ta có 1 x  Ta có diện tích 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 0 1 1 1 0 3 3 3 4 4 4 3 3              S x dx x dx x x dx x dx Đặt: 2sin 2 cos ; 1 ; 2 6 2               x t dx tdt x t x t 2 6 3 1 4 3 2 sin 2 3 2 6                S t t Câu 9. Chọn C Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 1 2 2 4 2 2 4 S x x x dx x x dx x x dx                     . Câu 10. Chọn A Ta có: hàm số     (x) 0 1;1 ; (x) 0 1;4 f x f x        , nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 4 1 4 1 1 1 1 1 dx dx dx dx dx S f x f x f x f x f x              . Chọn đáp án B. Câu 11. Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) 3 1 3 2 2 1 d d d .          S f x x S f x x f x x Do ( ) 0  f x với   2;1    x và ( ) 0  f x với   1 ;3   x nên ( ) ( ) 1 3 2 1 d d .      S f x x f x x Câu 12. Từ đồ thị ta thấy 2 2 3 2 1 x x x      ,   1;2 x    . Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là ( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 1 d S x x x x             ( ) 2 2 1 2 2 4 d x x x       . Câu 13. Chọn B. Câu 14. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là 3 3 x x x   3 4 0 x x    2 0 2 x x x           . Vậy ( ) ( ) 0 2 3 3 2 0 4 d 4 d S x x x x x x        4 4 8    . Câu 15. Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức 2 0 3 x S dx   Câu 16. Ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 d d d b b D a a S f x x f x x f x x       . Vì ( )   ( )   0, ;0 , 0, 0; f x x a f x x b       nên: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 d d d d . b b D a a S f x x f x x f x x f x x           Câu 17. Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 d 4 3 d 4 3 d 3 S x x x x x x x x              . Câu 18. Theo lý thuyết thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các đường ( ) y f x  , ( ) y g x  , x a  , x b  được tính theo công thức ( ) ( ) d b a S f x g x x    . Câu 19. Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên là: ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 d 2 d x x x x x x            ( vì   2 1;1 2 x x x       ). Câu 20. Chọn D Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4 y x x   và trục Ox . Xét phương trình 2 0 4 0 4 x x x x         . Ta có 4 4 4 3 2 2 2 0 0 0 32 4 (4 ) (2 ) 3 3 x S x x dx x x dx x          . Câu 21. Chọn C: ( ) 1 2 4 3 2 3 2 0 1 1 2 7 2 2 4 0 1 4 3 12 x x S x dx x dx x x                 Câu 22. Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x  , trục hoành và hai đường thẳng x a  , x b  là ( ) d    b a S f x x ( ) ( ) d d c b a c f x x f x x    ( )d ( )d      c b a c f x x f x x . Câu 23. Ta có: ( ) 2 2 2 2 1 1 1 d 1 d 6 S x x x x          . Câu 24. Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm: 2 5 6 5; 1 x x x x      . Diện tích hình phẳng cần tìm: 1 2 0 7 6 5 d 3 S x x x      . Câu 25. Chọn C Hoành độ giao điểm của ( ) C và trục hoành là nghiệm của phương trình 3 1 1 0 1 3 x x x        . Do đó diện tích hình phẳng là ( ) 0 0 0 1 1 1 3 3 3 3 1 4 4 d 3 d 3 4ln 1 4ln 1 1 1 3 x S x x x x x x                        . Câu 26. Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 3 y x x   ; 2 y x  và các đường 1 x  ; 1 x   là ( ) ( ) 1 3 1 2 S x x x      dx 1 3 1 3 x x     dx . Bảng xét dấu 3 3 x x  x -1 0 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52 Do đó dựa vào bảng ta có: ( ) ( ) 0 1 3 3 1 0 3 d 3 d S x x x x x x        . Câu 27. Ta có 2 2 1 1 2 2 7 . 3 S x dx x dx      Câu 28. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) H và trục hoành 1 0 1 1 x x x      . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) H và các trục tọa độ là ( ) 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 d d 1 d 2ln 1 2ln 2 1 0 1 1 1 x x S x x x x x x x x                           . Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi miền D gồm các đường 2 ln x y x  , 0 y  , 1 x  , x e  là: 2 2 1 1 ln ln d d e e x x S x x x x     vì   2 ln 0, 1; x x e x    . Câu 30. Phương trình hoành độ giao điểm là 2 2 2 2 1 2 4 1 3 6 0 x x x x x x          0 2 x x       Diện tích hính phẳng là ( ) ( ) 2 2 2 0 2 4 1 2 1 S x x x x dx             ( ) 2 2 0 3 6 x x dx    ( ) 3 2 2 3 4 0 x x    . Câu 31. Xét phương trình: 2 2 2 x x x    2 2 0 x x     2 1 x x        . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là: 1 2 2 2d S x x x      ( ) 1 2 2 2 d x x x      1 3 2 2 2 3 2 x x x           7 10 6 3    9 2  . Câu 32. Phương trình hoành độ của đường cong ln y x x  và trục hoành là 3 3 x x   0  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53 0 0 ln 0 1 0 0 ln 0 1 x x x x x x x x x                            . Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong ln y x x  , trục hoành và đường thẳng x e  là 1 1 ln d ln d e e S x x x x x x     . Đặt 2 1 d d ln d d 2 u x u x x v x x x v                . Suy ra 2 2 2 2 1 1 1 ln d 1 1 2 2 2 4 4 e e e x e x e S x x x        . Câu 33. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình: 2 2 1 3 2 3 2 0 2 x x x x x x             . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 3 2 3 2 6 S x x dx x x dx          (đvdt). Câu 34. Ta có ln 1 0 x x e     . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số ln , y x  1 y  và đường thẳng 1 x  là: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 1 1 2 2 e e e e e S x dx x dx x x dx x e e e                    Câu 35. Vì 0 m  nên   2 3 0, 0; x x m     . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 3 y x   và các đường thẳng 0, 0, y x x m    là: ( ) ( ) 2 2 0 0 2 3 .d 3 3 m m S x x x x m m        . Theo giả thiết ta có: ( ) 2 2 2 10 3 10 3 10 0 2 do 0 5 m S m m m m m m m                   . Câu 36. Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 2 0 4 2 2 0 2 x x x x x x x            Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là ( ) 2 2 2 3 2 2 2 0 0 0 4 2 d 2 d 3 3 x S x x x x x x x                . Câu 37. Phương trình hoành độ giao điểm ( ) 2 2 1 2 5 4 0 4 x x x x x x             Dựa vào đồ thị, khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là ( ) 1 2 2 0 1 1 1 5 2 2 3 6 S xdx x dx         CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54 Vậy 5 6 S  . Câu 38. Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường ( ) 2 : 2 C y x x   và ( ) : 0 d y  là: 2 0 2 0 2 x x x x         . Bảng xét dấu: Diện tích cần tìm: ( ) ( ) ( ) 10 0 2 10 2 2 2 2 10 10 0 2 2 d 2 d 2 d 2 d S x x x x x x x x x x x x               0 2 10 3 3 3 2 2 2 10 0 2 3 3 3 x x x x x x                          1300 4 704 2008 3 3 3 3     . Câu 39. Chọn D Ta có ( ) 2 3 d S f x x    ( ) ( ) 1 2 3 1 d d f x x f x x      ( ) ( ) 1 2 3 1 d d f x x f x x       a b    . Câu 40. Lờigiải Chọn A Xét phương trình 2 0 1 x x x x        Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 y x  và đường thẳng 2 y x  là : ( ) 1 1 2 2 0 0 4 3 S x xdx x x dx        Câu 41. Phương trình hoành đồ giao điểm hai đồ thị hàm số 2 2 1 y x x     , 2 2 4 1 y x x    là: 2 2 2 0 2 1 2 4 1 3 6 0 2 x x x x x x x x                . Diện tích hình phẳng đã cho là ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 0 0 2 3 6 6 3 3 4 0 x x dx x x dx x x         . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55 Câu 42.       1 2 3 3 2 2 0 1 2 7 4 4 4 S x dx x dx x dx            3 3 1 2 3 4 0 1 2 7 4 4 3 3 | | | x x x x x x                               7 8 6 4 3 8 3 3       10  . Câu 43. Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong: 3 2 2 0 12 ( 12) 0 3 4 x x x x x x x x x                   . ⇒ Diện tích cần tìm là: 4 0 4 3 2 3 2 3 2 3 3 0 12 d 12 d 12 d S x x x x x x x x x x x x               ( ) ( ) 0 4 0 4 4 3 4 3 3 2 3 2 2 2 3 0 3 0 12 d 12 d 6 6 4 3 4 3 x x x x x x x x x x x x x x                             99 160 937 4 3 12      . Câu 44. Xét các hình phẳng ( ) 1 H : 0 0, 4 y x y x x          và ( ) 2 2 : 0 2, 4 y x H y x x           . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 \ H H H H H H         . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56 Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 1 2 0 2 4 4 2 16 10 d 2 d 2 2 0 2 3 2 3 3 x S H S H S H x x x x x x x                    Cách khác: Ta có ( ) 2 : 2 0, 2 x y H x y y y           . Suy ra ( ) ( ) 2 2 0 10 2 d 3 S H y y y      . Câu 45. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành: 1 0 1 1 x x x      . Khi đó ( ) 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 2 d d 1 d 2ln 1 2ln 2 1. 1 1 1 x x S x x x x x x x x                              Câu 46. Phương trình hoành độ giao điểm của 2 1 y x x    và 4 1 y x x    là 2 4 1 1 x x x x      2 4 0 0 1 1 x x x x x              . Diện tích hình phẳng cần tìm là 1 0 1 2 4 2 4 2 4 1 1 0 d d d S x x x x x x x x x            ( ) ( ) 0 1 3 5 3 5 2 4 2 4 1 0 0 1 2 2 4 d d 1 0 3 5 3 5 15 15 15 x x x x x x x x x x                            . Câu 47. Phương trình trục ( ) Ox và ( ) Oy lần lượt là 0 y  và 0 x  . Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số ( ) H và trục Ox: 1 0 1 1 x x x      . Ta có: 1 0 1 d 1 x S x x     . Vì   1 0, 0;1 1 x x x      nên diện tích cần tìm là: ( ) 1 1 0 0 1 1 2 d 1 d 2ln 1 2ln 2 1 0 1 1 x S x x x x x x                       . Câu 48. Cách 1: Coi x là hàm số theo biến số y . Hình phẳng đã cho giới hạn bởi các đường: 2 x y  (với 0 y  ); 2; 0 x y y    . Ta có: 2 2 1 ( ) 2 2 0 2 ( / ) y loai y y y y y t m              Diện tích của hình phẳng cần tìm là ( ) 2 2 2 2 0 0 10 2 d 2 d 3 S y y y y y y          (đvdt) Cách 2: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57 Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số , 2: y x y x    ( ) 2 2 2 2 2 4. 5 4 0 2 x x x x x x x x x                      Diện tích của hình phẳng cần tìm là ( ) 4 4 0 2 10 d 2 d 3 S x x x x       (đvdt) Câu 49. Xét phương trình 2 2 4 12 4 x x   4 2 4 144 4 x x    4 2 4 0 144 4 x x     12 12 x x         Diện tích hình phẳng ( ) H bằng: 2 2 2 2 2 2 12 12 12 12 12 0 0 0 4 d 2 4 d 2 4 d 2 d 4 12 4 12 4 12 x x x x x x S x x x x                                       Xét 2 12 1 0 4 d 4 x I x            Đặt 4sin x t  4cos d dx x x   Đổi cận: 0 0; x t    12 3 x t     ( ) 3 3 2 1 0 0 4 8 cos tdt 4 1 cos 2 dt 3 3 I t           Xét 2 12 2 0 2 3 d 12 3 x I x    Vậy ( ) 1 2 2 4 3 2 2 3 S I I      Câu 50. Hướng dẫn giải Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 3 3 5 3 2 2 1 1 2 2 1 4 f x dx f x dx x f x dx                   Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 6 3 12 2 17 A B C D f x dx S S S S            Vậy ( ) 1 3 2 2 1 1 21 f x dx          Câu 51. Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng cần tính diện tích gồm 2 phần: Phần 1: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y x  , trục Ox , 0 x  , 1 x  . Phần 2: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4 4 y x x    , trục Ox , 1 x  , 2 x  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58 Do đó diện tích cần tính là ( ) 1 2 1 2 3 2 3 2 0 1 0 1 d 4 4 d d 4 4 d S x x x x x x x x x x             . Câu 52. 1 khi 1 1 1 khi 1 x x y x x x           . 2 2 2 1 1 x y y x       do chỉ tính nửa trên của đường tròn nên ta lấy 2 1 y x   . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 y x   và nửa trên của đường tròn 2 2 1 x y   là phần tô màu vàng như hình vẽ. Diện tích hình phẳng trên là: ( ) 1 2 0 1 1 d S x x x          ( ) 1 1 2 0 0 1 d 1 d x x x x       1 2 1 0 2 x I x          1 1 2 I   . Tính 1 2 1 0 1 d I x x    . Đặt sin x t  , ; 2 2 t           ; d cos .d x t t  . Đổi cận 0 0 x t    ; 1 2 x t     . 1 2 1 0 1 d I x x    2 2 0 1 sin .cos .d t t t     2 0 cos cos .d t t t    2 2 0 cos .d t t    2 0 1 cos 2 d 2 t t     2 0 1 sin 2 2 2 4 t t            .Vậy 1 4 2 S    . Câu 53. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y x   và 2 y x   là: 2 1 x x x      . Diện tích hình phẳng cần tính là: 1 3 2 2 0 1 10 10 d 2 d 3 3 S x x x x x x x x                      . 1 3 2 2 0 1 13 7 d 2 d 3 3 S x x x x x x                     1 3 2 2 0 1 13 7 d 2 d 3 3 S x x x x x x                     CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59 1 3 3 3 2 2 0 1 13 7 13 2 6 3 6 3 2 x x S x x x                    . Câu 54. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Hai Elip lần lượt có phương trình: ( ) 2 2 1 : 1 4 1 x y E   và ( ) 2 2 2 : 1 1 4 x y E   Tọa độ giao điểm của hai Elip trong góc phần tư thứ nhất là nghiệm phương trình: 2 2 2 1 4 4 1 4 5 x x x      2 5 5 x   Diện tích hình phẳng cần tìm: 2 5 5 2 2 2 0 .2 .2.1 2 1 3, 4 71 1 4 x S x dx                   Câu 55. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( ) 3 2 f x ax bx c    , các đường thẳng 1 x   , 2 x  và trục hoành được chia thành hai phần: Miền 1 D là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3 1 3 S   . Miền 2 D gồm: ( ) 3 2 1 1; 2 f x ax bx c y x x             . Dễ thấy ( ) C đi qua 3 điểm ( ) 1;1 A  , ( ) 0;3 B , ( ) 2;1 C nên đồ thị ( ) C có phương trình ( ) 3 2 1 3 3 2 2 f x x x    . 2 3 2 2 1 1 3 27 3 1 d 2 2 8 S x x x               . Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là 1 2 51 8 S S S    . Câu 56. ( ) ( ) 5 5 6 6 2 d d I f x x g x x            với ( ) ( ) 2 g x f x   có đồ thị như hình vẽ. Có 1 2 3 4 I S S S S     trong đó: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60 1 S là diện tích hình thang vuông ABCD ( ) ( ) 1 . 1 3 .4 8 2 2 AB CD AD S       , 2 S là diện tích hình chữ nhật CDEF 2 3.4 12 S    , 3 S là diện tích hình tròn tâm I , bán kính 2 R  2 3 .2 2 2 S      , 4 S là diện tích hình thang vuông EFGH ( ) ( ) 4 . 5 3 .3 12 2 2 EF GH EH S       . Suy ra 8 12 2 12 2 32 I         . Dạng 1.2 Bài toán có điều kiện Câu 57. Ta có diện tích hình vuông OABC là 16 và bằng 1 2 S S  . 4 4 3 2 2 0 0 1 16 d 4 12 3 x S x x     1 2 2 2 16 16 16 3 2 16 3 S S S S       Câu 58. Cách 1. Ta có: ( ) ( ) 1 1 2 1 d 2 1 d t t S t x x x x       . Suy ra ( ) ( ) 2 2 1 2 t S t x x t t      . Do đó ( ) ( ) 2 2 3 10 2 10 12 0 4 t S t t t t t t L                 . Vậy 3 t  . Cách 2. Hình phẳng đã cho là hình thang có đáy nhỏ bằng ( ) 1 3 y  , đáy lớn bằng ( ) 2 1 y t t   và chiều cao bằng 1 t  . Ta có ( ) ( ) 2 3 3 2 1 1 10 2 2 24 0 4 2 t t t t t t                . Vì 1 t  nên 3 t  Do đó chọn đáp án A. Câu 59. Chọn C Giải toán: Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 3 2 3 2 0 2 x a x x x a       Để phương trình có 2 nghiệm dương thì 0 0 9 0 16 a a a               . Gọi hai nghiệm đó là 1 2 0 x x   thì 2 3 9 16 4 a x    . Để 1 2 S S  khi và chỉ khi 2 2 0 3 0 2 x x a x dx           Ta có: 2 3 2 2 2 2 2 0 3 3 d 0 0 2 3 4 x x x a x x ax x               CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61 3 2 3 9 16 4 3 9 16 3 3 9 16 0 3 4 4 4 a a a a                             Giải nhanh bằng máy tính cho kết quả 0,421875 x  thuộc khoảng 2 9 ; 5 20       . Câu 60. Chọn C Ta có phương trình hoành độ giao điểm 2 1 3 0 2 4 x x a    2 2 3 4 0 x x a     . Theo đề bài phương trình có hai nghiệm 1 2 0 x x   thỏa mãn ( ) ( ) 1 2 1 2 3 * 2 2 ** x x x x a         . 1 2 0 S S   1 2 1 2 2 0 1 3 1 3 d d 0 2 4 2 4 x x x x x a x x x a x          2 2 0 1 3 d 0 2 4 x x x a x      2 3 2 0 1 3 0 6 8 x x x ax     3 2 2 2 2 1 3 0 6 8 x x ax     2 2 2 3 6 8 x x a     ( ) *** . Từ ( ) 1 2 3 * 2 x x    , thay vào ( ) 2 2 2 2 2 3 3 ** 2 3 4 x x x x            2 2 2 2 3 0 3 4 x x    2 9 8 x   (***) 27 128 a      . Vậy 3 7 ; 16 32 a        . Câu 61. Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 2 3 2 3 0       x a x x x a có hai nghiệm dương phân biệt 9 9 8 0 9 0 8 8 0 0 2                       a a a a a . Ta được nghiệm của phương trình là 3 9 8 4    a x . Ta có ( ) ( ) 3 9 8 3 9 8 4 4 2 2 1 2 0 3 9 8 4 2 3 d 2 3 d                 a a a S S x a x x x a x x . ( ) ( ) 3 9 8 3 9 8 4 4 2 2 0 3 9 8 4 2 3 d 2 3 d 0                a a a x a x x x a x x ( ) 3 9 8 4 2 3 2 0 3 9 8 2 3 2 3 d 0 0 4 3 2 0                    a a x x a x x x ax 3 2 2 3 9 8 2 3 9 8 3 9 8 0 3 4 3 4 4                                   a a a a CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62 2 2 3 9 8 2 3 9 8 2 3 9 8 0 4 3 4 3 4 3 9 8 0 ( ) 4 2 3 9 8 2 3 9 8 0 3 4 3 4                                                                             a a a a a vn a a a 2 2 3 9 8 2 3 9 8 27 0 3 4 3 4 32                               CASIO Shift Solve a a a a Câu 62. Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) f x và ( ) g x là ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 3 2 4 0. * bx cx dx x a b d x c e x ax              Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình ( ) * có ba nghiệm 2 x   ; 1 x   ; 1 x  . Ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 2 1 1 ax b d x c e x k x x x          . Khi đó 4 2 2 k k      . Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là ( ) ( ) ( ) 1 2 37 d 2 6 2 1 1 x x x x       . Câu 63. Chọn D Cách 1: Xét phương trình 3 2 2 1 1 2 ax bx cx dx ex       ( ) ( ) 3 2 3 0 2 ax b d x e c x Û + - + - - = có 3 nghiệm lần lượt là 3  ; 1  ; 1 nên suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 27 9 3 0 2 3 0 2 3 0 2 a b d c e a b d c e a b d c e                              3 2 1 2 1 2 b d a c e                 Vậy ( ) ( ) 3 2 1 3 1 3 2 2 2 2 f x g x x x x      . Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1 S f x g x dx g x f x dx          1 1 3 2 3 2 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 S x x x dx x x x dx                              . Cách 2: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 f x g x a x x x      . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 1 1 2 a x x x ax b d x c d x          Xét hệ số tự do suy ra: 3 1 3 2 2 a a      . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63 Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 1 2 f x g x x x x      . Diện tích bằng: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1 d d S f x g x x g x f x x                  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1 1 1 3 1 1 d 3 1 1 d 2 2 S x x x x x x x x               4  . Câu 64. Chọn C Vì phương trình ( ) ( ) 0 f x g x   có 3 nghiệm 3; 1;2   nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 . f x g x a x x x      So sánh hệ số tự do ta được 3 6 2 a    1 . 4 a   Do đó ( ) ( ) ( ) 2 3 1 253 3 1 2 d 4 48 S x x x x        . Câu 65. Chọn A Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: 3 2 2 3 3 4 4 ax bx cx dx ex       ( ) ( ) 3 2 3 0 2 ax b d x c e x        . Đặt ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 h x ax b d x c e x       Dựa vào đồ thị ta có ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 h x ax b d x c e x       có ba nghiệm là 2 x   ; 1; 3 x x   . Với 2 x   ta có ( ) ( ) ( ) 3 8 4 2 , 1 2 a b d c e        . Với 1 x  ta có ( ) ( ) ( ) 3 , 2 2 a b d c e       . Với 3 x  ta có ( ) ( ) ( ) 3 27 9 3 , 3 2 a b d c e       . Từ ( ) ( ) 1 , 2 và ( ) 3 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 8 4 2 2 3 2 3 27 9 3 2 a b d c e a b d c e a b d c e                             1 4 1 2 5 4 a b d c e                  . Hay ta có ( ) ( ) 3 2 d S f x g x x     1 3 3 2 3 2 2 1 1 1 5 3 1 1 5 3 d d 4 2 4 2 4 2 4 2 x x x x x x x x            63 4 16 3   253 48  . Câu 66. Để việc tính toán trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái một đơn vị. Khi đó, phương trình các parabol mới là ( ) 2 1 : 4 P y x    , ( ) 2 2 : 4 a P y x a    . Gọi , A B là các giao điểm của ( ) 1 P và trục ( ) ( ) 2;0 , 2;0 4 Ox A B AB     . Gọi , A B là giao điểm của ( ) 1 P và đường thẳng ( ) ( ) 4 ; , 4 ; d M a a N a a     . Ta có ( ) ( ) 4 4 3 2 1 4 4 2 4 . 4 4 4 3 3 a a S y dy y a a                2 2 3 2 2 0 8 2 . 2 4 12 3 a a ax a S x a dx ax                     . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64 Theo giả thiết ( ) ( ) 3 2 3 2 1 2 4 8 4 4 4 4 8 48 64 3 3 a S S a a a a a a a             Vậy 64 T  . Câu 67. Hàm số đã cho có dạng 4 3 2 3 2 ( ) '( ) 4 3 2 f x ax bx cx dx e f x ax bx cx d           . Từ giả thiết đồ thị hàm số đã cho ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm ( 2;0)  , ( 1;1)  , (0;1) , (1;0) và có hai điểm cực tiểu là (1;0) , ( 2;0)  nên ta có hệ 1 1 (0) 1 1 4 ( 2) 0 1 1 . (1) 0 16 8 4 2 1 2 '( 2) 0 32 12 4 0 3 '(1) 0 4 3 2 0 4 1 e f e a f a b c d f a b c d b f a b c d c f a b c d d                                                                    Do đó 4 3 2 3 2 1 1 3 3 3 ( ) 1 '( ) 1. 4 2 4 2 2 f x x x x x f x x x x           Xét phương trình hoành độ giao điểm ( ) '( ). f x f x  4 3 2 2 1 1 1 9 1 2 0 . 1 4 2 4 2 4 x x x x x x x x                    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ( ); '( ) y f x y f x   là 4 2 ( ) ( ) S f x f x dx      Vì biểu thức 4 3 2 1 1 9 1 ( ) ( ) 2 4 2 4 2 f x f x x x x x        không đổi đấu trên các khoảng ( 2; 1)   , ( 1;1)  , (1;4) nên ta có       1 1 4 2 1 1 107 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ). 5 S f x f x dx f x f x dx f x f x dx dvdt              Câu 68. Chọn C Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 2 my x mx y        Thế (1) vào (2) ta được: 2 2 3 4 0 0 0 x x mx m x x x m m                  Vì 2 0 x y m   nên 0 2 y mx y y mx        Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 2 0 0 m m x x S mx dx mx dx m m             3 3 2 2 2 0 2 1 1 . 3 3 3 3 m m x x m m m             Yêu cầu bài toán 0 2 2 1 3 3 9 3 3 m S m m m            CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65 Câu 69. Diện tích hình thang cong ( ) H giới hạn bởi các đường e x y  , 0 y  , 0 x  , ln 4 x  là ln 4 ln 4 0 0 e d e x x S x     ln 4 0 e e 4 1 3     (đvdt). Ta có 1 2 1 1 1 1 3 2 2 S S S S S S      . Suy ra 1 2 2.3 2 3 3 S S    (đvdt). Vì 1 S là phần diện tích được giới hạn bởi các đường e x y  , 0 y  , 0 x  , x k  nên 1 0 0 2 e d e k k x x S x      0 e e e 1 k k    . Do đó e 3 ln 3 k k    . Câu 70. Chọn A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 f x g x a x x x      ( ) ( ) 2 3 2 ax a x x     3 2 2 2 3 3 6 ax ax ax ax ax a       3 2 2 5 6 ax ax ax a     ( ) ( ) 0 0 6 f g a    , quan sát hình vẽ ta có ( ) ( ) 3 3 9 0 0 5 2 10 f g      Nên 9 3 6 10 20 a a      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 253 3 1 2 3.1625 20 80 S f x g x dx x x x dx              Câu 71. Gọi phương trình đường thẳng AB là: y ax b   ( ) , a b   Phương trình giao điểm của AB và ( ) P là: 2 0 x ax b    Để có 2 điểm , A B thì 2 4 0 a b   . khi đó: ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 ; ; A x ax b B x ax b x x a x x b              Nên ( ) 2 2 1 2 1 2 AB a x x      Giả sử 2 1 x x  ta có ( ) 2 1 2 2 2 1 x x a     Mặt khác: ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 4 4 x x x x x x a b       Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 1 d 2 3 x x a S ax b x x x x b x x x x           ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 a x x x x b x x x x              ( ) ( ) 2 2 1 1 . 2 3 a x x a b a b            ( ) 2 2 1 2 3 a b x x b          ( ) 2 2 1 4 6 a b x x    ( ) 3 2 1 8 4 6 6 3 x x     . Suy ra: 4 3 max S  khi 1 2 2 1 1 2 0 0 2 1 x x a x x x x               (thỏa mãn vì ( ) P có tính đối xứng) ( ) ( ) 1;1 1;1 A B        hoặc ( ) ( ) 1;1 1;1 A B       . Câu 72. Chọn C Phương trình hoành độ của ( ) P và d là ( ) 2 1 0 1 x mx    . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66 Dễ thấy ( ) 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi ( ) , a b a b  là các nghiệm của ( ) 1 thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và d là ( ) 3 2 2 2 1 x mx 1 dx x 3 2 b b b a a a x mx S x mx dx                  3 3 2 2 2 2 (b a ) (b a) (b a) . 1 3 2 3 2 b a m b ab a m b a              = ( ) ( ) ( ) 2 2 b a b a b a 4 . 1 3 2 ab m ab        Mà , 1 a b m ab     nên 2 2 2 4 4. 6 3 3 m S m           . Do đó 4 min 3 S  khi 0 m  . Câu 73. Chọn B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 5 5 5 5 5 d d d d d S f x g x x f x x g x x f x x S g x x                           . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 d d d d d S g x f x x g x x f x x f x x g x x S                      . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 3 1 5 0 0 0 0 d d d d d S f x g x x f x x g x x f x x S g x x                   . Do vậy: ( ) ( ) . 3 5 3 2 1 3 5 dx x g S S S dx x f         Từ đồ thị ta thấy ( )dx x g   3 5 là số dương. Mà 4 đáp án chỉ có B là phù hợp, nên ta chọn B. Chú ý: Có thể tính ( )dx x g   3 5 như sau: Từ đồ thị hàm số ( ) y g x  ta thấy nó đi qua các điểm ( ) ( ) ( ) 5;2 , 2;0 , 0;0   nên ta có: 25 5 2 2 4 4 2 0 , , 0. 15 15 0 a b c a b c a b c c                 Do đó: ( ) 3 3 2 5 5 2 4 208 d d 15 15 45 g x x x x x              . Câu 74. Chọn A Theo giả thiết ta có ( ) 1 1 d 3 f x x    và ( ) 4 1 d 7 f x x    suy ra ( ) 4 1 d 4 f x x     . Đặt 5sin 1 d 5cos d t x t x x     . Khi đó ( ) ( ) ( ) 4 4 2 0 1 1 1 1 4 cos . 5sin 1 d d d 5 5 5 x f x x f t t f x x            . Câu 75. Chọn A +) Xét ( ) 0 1 3 1 d I f x x     , đặt ( ) 3 1 3 3 dt x t dt dx dx       CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67 +) Đổi cận 1 2 0 1 x t x t            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 2 0 1 1 1 1 dt= dt + dt 11 2 3 3 3 3 3 A B I f t f t f t S S                   Câu 76. Cách 1: Gọi hàm số bậc ba là 3 2 y ax bx cx d     2 ' 3 2 y ax bx c     . Đồ thị ( ) C đi qua các điểm ( ) ( ) 1;0 , 2; 2  và đạt cực trị tại 0; 2 x x   nên ta có hệ sau : 0 1 2 8 4 2 3 . 0 0 0 12 4 2 a b c d a a b c d b c c a b c d                                  Suy ra hàm số bậc ba là 3 2 3 2 y x x    . Gọi hàm bậc hai là 2 y mx nx p    . Đồ thị ( ) P đi qua các điểm ( ) ( ) ( ) 1;0 , 2; 2 , 1; 2    nên ta có hệ sau : 0 1 2 4 2 1 2 0 m n p m m n p n m n p p                           . Suy ra hàm số bậc hai là 2 y x x    . Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và ( ) P là : 3 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 1 2 x x x x x x x x x x                     . Vậy diện tích phần tô đậm là : ( ) 2 3 2 1 2 2 . S x x x dx       ( ) ( ) 1 2 3 2 3 2 1 1 8 5 37 2 2 2 2 3 12 12 S x x x dx x x x dx               . Cách 2: (Võ Thanh Hải) Vì đồ thị hàm bậc ba và đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung tại các điểm có tung độ lần lượt là 2, 0 y y   nên ta xét hai hàm số là 3 2 2 y ax bx cx     , 2 y mx nx   . * Vì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là 1; 1; 2 x x x     nên ta có phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 1 1 2 0 ax bx cx mx nx a x x x           . Với 0 x  ta được 2 2 1 a a    . *Vậy diện tích phần tô đậm là: ( ) ( ) ( ) 2 1 37 1 1 2 12 S x x x dx        . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68 Câu 77. Diện tích hình tròn là 2 8     S R . Phương trình đường tròn tâm ( ) 0;0 O , bán kính 2 2  R là 2 2 8   x y . Hoành độ giao điểm của Parabol và đường tròn là nghiệm của phương trình 4 2 8 4   x x 4 2 4 32 0 x x     ( ) ( ) 2 2 8 4 0 x x     2 4 0 x    2 2        x x . Phương trình nửa phía trên trục Ox của đường tròn là: 2 8   y x . Diện tích miền giới hạn bởi Parabol và nửa phía trên trục Ox của đường tròn là: 2 2 2 2 8 2           x x dx 2 2 2 2 2 2 1 8 2        x dx x dx Ta có 2 2 3 2 2 2 16 3 3      x x dx . 2 2 2 8     I x dx Đặt 2 2 sin  x t ; 2 2                 t 2 2 cos   dx tdt +) 2 4       x t +) 2 4     x t . 4 2 4 8 8sin .2 2 cos       I t tdt 4 2 4 8 cos      tdt ( ) 4 4 4 1 cos 2       t dt ( ) 4 4 4 1 cos 2       t dt 4 4 1 4 sin 2 2            t t 2 4    . Vậy 2 2 2 2 8 2           x x dx 4 2 3    . Diện tích phần còn lại là 4 4 8 2 6 3 3              . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69 Vậy 1 4 2 3    S ; 2 4 6 3    S 1 2 3 2 9 2       S S Câu 78. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 6 2 3 3 2 0 2 0 2 1 1 x a x ax a a ax x ax a x a x a x a a a                       Nếu 0 a  thì diện tích hình phẳng 0 S  . + Nếu 0 a  thì 2 2 2 2 3 6 6 6 2 2 3 2 3 2 1 d d . 1 1 6 1 a a a a x ax a x ax a a S x x a a a                  . + Nếu 0 a  thì 2 2 2 2 2 2 3 6 6 6 3 2 3 2 1 d d . 1 1 6 1 a a a a x ax a x ax a a S x x a a a                   . Do đó, với 0 a  thì 3 3 6 3 1 1 1 . . 6 6 12 1 2 a a S a a     . Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi 3 1 1 a a     . Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm đã cho có diện tích lớn nhất khi 1 a  . Câu 79. Diện tích phần kẻ sọc là: ( ) 0 2 dx S f x    3  . Vì ( ) 0 f x    2;0 x    ( ) ( ) 0 0 2 2 3 dx dx f x f x             ( ) 0 2 dx 3 f x      . Tính ( ) 4 3 2 8 dx I f x    . Đặt 2 8 t x   dt 2dx   ; 3 2 x t     ; 4 0 x t    . Suy ra: ( ) 0 2 1 . dt 2 I f t    ( ) 0 2 1 dx 2 f x    3 2   . Vậy ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 2 3 1 dx 1 dx 2 8 dx T f x f x f x            ( ) ( ) 2 3 1 2 1 1 f x f x I      ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 f f f f      ( ) 3 3 2 1 2 2      . Câu 80. Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 6 0 x x m    ( ) 1 . Đặt 2 t x  ( ) 0 t  ( ) 1 trở thành 2 6 0 t t m    ( ) 2 . ( ) m C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phương trình ( ) 1 có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình ( ) 2 có hai nghiệm dương phân biệt ( ) 2 3 0 0 6 0 m P m S                 0 9 m    ( ) * . Gọi 1 t , 2 t ( ) 1 2 0 t t   là hai nghiệm của phương trình ( ) 2 . Lúc đó phương trình ( ) 1 có bốn nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: 1 2 x t   ; 2 1 x t   ; 3 1 x t  ; 4 2 x t  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70 Do tính đối xứng của đồ thị ( ) m C nên có ( ) 3 4 2 0 6 d x x x m x    ( ) 4 3 4 2 6 d x x x x m x      5 3 4 4 4 2 0 5 x x mx     4 4 5 3 4 10 5 0 x x mx     . Từ đó có 4 x là nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( ) 4 2 4 4 4 2 4 4 6 0 3 4 10 5 0 x x m x x m             Lấy ( ) ( ) 3 4  2 4 x m   , thay 2 4 x m  vào ( ) 3 có: 2 5 0 m m   0 5 m m     . Đối chiếu điều kiện ( ) * ta có 5 m  5 a   và 1 b  . Vậy 6 S  . Câu 81. Chọn A +) Gọi ( ) ( ) 3 2 : 0 C y a x b x c x d a      Do ( ) C cắt trục O y tại điểm có tung độ bằng 2 nên 2 d  ( ) C đi qua 3 điểm ( ) ( ) 1 ; 2 , 1 ; 0 A B   và ( ) 2 ; 2 C  nên ta được hệ phương trình 4 1 2 3 4 2 2 0 a b c a a b c b a b c c                             . Do đó ( ) 3 2 : 3 2 C y x x    +) Gọi ( ) ( ) 2 : 0 P y m x n x r m     Do ( ) P đi qua 3 điểm ( ) ( ) 1 ; 2 , 0 ; 0 a O   và ( ) 2 ; 2 C  nên ta được 2 1 0 0 4 2 2 1 m n r m r r m n r n                         . Do đó ( ) 2 : P y x x    Vậy ( ) 2 3 2 1 3 7 2 2 1 2 M T C T H S x x x d x        Câu 82. Ta có: 1 2 S S S   . ( ) 1 1 0 0 d a a p p p x a S x x p p            ; 1 1 1 1 1 2 0 0 0 dy 1 1 1 b b b q q p p y y b S y q q p                                     . Vì: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p q p p p q         . Vậy p q a b ab p q   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71 Câu 83. Cách 1: Gọi , , , I H K E là các điểm như hình vẽ. * Ta có:  60 IHO   2 2 2 2 2 2 3 4 4 R R OH OB BH R      2 R OH   3 .tan 60 2 R OI OH     , cos60 OH IH R    , IOH EKH    nên ta có: 2 2 IE OK IE R IH OH     . * Chọn hệ trục tọa độ Ixy như hình vẽ ta có elip ( ) E có bán trục lớn là 2 a IE R   và ( ) E đi qua 3 ; 2 R A R          nên ( ) E có phương trình là ( ) 2 2 2 2 : 1 4 x y E R R   . * Diện tích của thiết diện là 2 2 2 2 2 2 2 1 d 2 1 d 4 4 R R R R x x S R x R x R R         * Xét tích phân: 2 2 2 1 dx 4 R R x I R     , đặt 2 .sin ; ; 2 2 x R t t            ta được ( ) 2 2 6 6 sin 2 2 3 1 cos 2 d 2 2 2 3 8 R R t I t t t R                             2 4 3 3 4 S R             . Cách 2:   2 2 2 1 cos 120 . 2. . 2 2 OA OB AB R AOB AOB OH OAOB           Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ  Phương trình đường tròn đáy là 2 2 2 2 2 . x y R y R x       CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72 Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ. Ta có 2 2 2 2 d . R R S R x x     Đặt .sin x R t  2 2 3 . 3 4 S R             Gọi diện tích phần elip cần tính là . S  Theo công thức hình chiếu, ta có 2 4 3 2 . cos 60 3 2 S S S R                Câu 84. Giả sử 2 ( ; ) A a a ; 2 ( ; )( ) B b b b a  sao cho 2018 AB  . Phương trình đường thẳng d là: ( ) y a b x ab    . Khi đó ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 ( ) d d 6 b b a a S a b x ab x x a b x ab x x b a             . Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2018 2018 1 2018 AB b a b a b a b a            . ( ) 2 2 2018 b a    3 2018 2018 6 b a b a S        . Vậy 3 max 2018 6 S  khi 1009 a   và 1009 b  . Câu 85. Ta có 3 4 2 y ax bx     ( ) ( ) : 4 2 1 d y a b x     . Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) C là: ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 1 1 a b x ax bx c       . Phương trình ( ) 1 phải cho 2 nghiệm là 0 x  , 2 x  .  4 2 12 6 16 4 a b c a b a b c            ( ) ( ) 4 2 0 2 28 10 0 3 a b c a b c              . Mặt khác, diện tích phần tô màu là ( ) ( ) 2 4 2 0 28 4 2 1 d 5 a b x ax bx c x             ( ) 28 32 8 4 4 2 2 5 5 3 a b a b c        ( ) 112 32 28 2 4 5 3 5 a b c      . Giải hệ 3 phương trình ( ) 2 , ( ) 3 và ( ) 4 ta được 1 a  , 3 b   , 2 c  . Khi đó, ( ) 4 2 : 3 2 C y x x    , ( ) : 2 1 d y x   . Diện tích cần tìm là ( ) 0 4 2 1 3 2 2 1 d S x x x x            ( ) 0 4 2 1 1 3 2 5 x x x dx       . Câu 86. Ta có 2 2 25 4 d 3 m S x x      . Phương trình 2 4 0 2 x x      . Bài ra 2 2 m    nên trên ( ) 2;m  thì 2 4 0 x   vô nghiệm. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73 ( ) 3 2 2 2 2 2 25 25 25 4 d 4 d 4 3 3 3 3 m m m x x x x x x                    3 3 8 25 16 25 4 8 4 3 3 3 3 3 3 m m m m                       3 3 3 3 3 3 16 25 1 4 4 3 0 12 9 0 3 3 3 3 1 41 16 25 12 41 0 4 0 4 3 3 3 3 3 m m m m m m m m m m m m                                       ( ) 1 Xét hàm số ( ) 3 12 f m m m   , với ( ) 2;2 m   có ( ) ( ) 2 2 3 12 3 4 0 f m m m       , ( ) 2;2 m    . Do đó ( ) f m nghịch biến trên ( ) ( ) ( ) 3 2;2 2 16 12 41 0 f m f m m          . Khi đó ( ) 1 ( ) ( ) 3 2 21 3 12 9 0 3 3 3 0 2 m m m m m m             thỏa mãn. Vậy chỉ có 21 3 2 m   thỏa mãn bài toán. Câu 87. Phương trình hoành độ giao điểm của parabol ( ) 2 : P y x  với đường thẳng y b  là 2 x b x b     . Phương trình hoành độ giao điểm của parabol ( ) 2 : P y x  với đường thẳng y a  là 2 x a x a     . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2 : P y x  và đường thẳng y b  là ( ) 2 0 2 d b S b x x    3 0 2 3 b x bx         2 3 b b b b           4 3 b b  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2 : P y x  và đường thẳng y a  (phần tô màu đen) là ( ) 2 1 0 2 d a S a x x    3 0 2 3 a x ax         2 3 a a a a           4 3 a a  . Do đó 1 2 S S  4 4 2. 3 3 b b a a   ( ) ( ) 3 3 2 b a   3 2 b a   3 4 b a   . Câu 88. Ta có: 2 2 2 1 1 4 4 x x y y       Hoành độ giao điểm (E’) 2 1 4 x y   và parabol 2 3 2 y x  là 2 2 4 2 2 3 1 3 4 0 1 1 4 2 x x x x x x           (theo hình vẽ thì 0 x  ) Vậy 1 2 2 2 0 1 3 1 2 4 x T x dx dx      CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74 Mà 1 1 3 2 0 0 3 3 3 2 6 6 x x dx    Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 2 x I dx x dx       . Đặt 2cos x t  ta có: 2 2 1 4 x dx    ( ) 0 2 3 4sin . 2sin t t dt    ( ) 3 3 2 0 0 2 3 4 sin 2 1 cos 2 3 2 tdt t dt           Do đó 1 1 . . 3 3 12 T     nên 15 S  Câu 89. Căn cứ đồ thị ta thấy + Hàm số 3 2 y x ax bx c     đạt cực trị tại 1 x   nên ta có ( ) ( ) 1 0 2 3 0 0 2 3 0 3 1 0 y a b a a b b y                             . + Hàm số 2 y mx nx p    đạt cực đại tại 1 x   và ( ) P cắt ( ) C tại hai điểm có hoành độ 1 x   nên ta có 2 0 2 1 1 1 1 m n n a b c m n p m a b c m n p p c                                  Suy ra ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 2 3 2 1 1 4 1 1;2 3 S mx nx p x ax bx x dx x x x dx                   Dạng 2. Ứng dụng tích phân để tìm thể tích Dạng 2.1 Bài toán tính trực tiếp không có điều kiện Câu 90. Lời giải Chọn B Câu 91. Chọn B Câu 92. Chọn D Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( ) H xung quanh trục Ox là: ( ) 2 2 2 0 3 V x dx     . Câu 93. Chọn D ( )         1 2 1 2 2 0 0 1 e e d 2 2 x x e V x Câu 94. Chọn B Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: ( ) ( ) 1 1 1 3 2 2 2 0 0 0 4 1 d 1 d 3 3 x V x x x x x                    . Câu 95. Chọn A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75 ( ) ( )              2 2 2 0 0 2 c o s 2 s i n ( 1 ). V x d x x x Câu 96. Lời giải Chọn A Ta có: ( ) ( ) 2 0 0 2 sin d 2 sin d V x x x x           ( ) ( ) 0 2 cos 2 1 x x         . Câu 97. Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm ( ) 2 1 0 1 x x e x     Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( ) H xung quanh trục Ox là: ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 0 2 1 4 1 x x V x e dx x e dx             . Đặt ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 x x du x dx u x e v dv e dx                  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 4 1 4 2 1 4 1 4 1 2 2 2 x x x x e e e V x x dx x x e dx                Gọi ( ) 1 2 1 0 1 x I x e dx    . Đặt 2 2 1 2 x x u x du dx e dv e dx v             ( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 1 0 0 0 4 1 4 2 2 3 2 2 x x x e e I x dx e e e                      Vậy ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 0 4 1 2 3 5 2 x e V x I e e               . Câu 98. Chọn B Ta có: ( ) 2 2 2 1 2 d V x x     . Câu 99. Chọn A Diện tích thiết diện là: 2 ( ) 3 . 3 2 S x x x    Thể tích vật thể là: 3 2 1 124 3 . 3 2 3 V x x dx     Câu 100. Phương trình hoành độ giao điểm 2 0 2 0 2 x x x x         . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính 2 2 2 4 0 0 4 V x dx x dx       . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 76 Câu 101. Thể tích của vật thể được tạo nên là ( ) 2 2 2 0 3 d . V x x     Câu 102. Công thức tính: ( ) 2 b a V f x dx    Câu 103. Ta có ( ) ( ) 1 1 1 5 3 2 2 4 3 2 4 0 0 0 4 1 4 8 2 d 4 4 d . . 1 . 5 3 5 3 15 x x V x x x x x x x x                                Câu 104. Chọn B 2 1 V xdx    2 2 1 3 2 2 x     . Câu 105. Chọn B Theo công thức ta chọn ( ) 2 2 2 0 2     V x x dx Câu 106. Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra là ( ) ( ) 4 4 4 4 2 0 0 0 0 d sin tan .d tan .d .d cosx x V x x x x x cosx cosx                  ( ) 4 0 1 ln 2 ln ln 2 2 cosx                . Câu 107. Chọn D Quay elip đã cho xung quanh trục hoành chính là quay hình phẳng: 2 4 1 , 0, 5, 5 25 x H y y x x                  . Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi H khi quay xung quanh trục hoành là: 2 3 5 5 5 16 16 320 16 16 335,1 5 25 75 3 x x V dx x                         Câu 108. Chọn B Theo đề, ta có hình vẽ sau: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 77 Nhận xét: Khi nhìn vào hình vẽ. Đường thẳng 1 x  chia hình phẳng giới hạn bởi đường 2 2 y x x   và trục hoành làm 2 phần. Dễ thấy lúc này hình phẳng ( ) H không thể xác định vì phần hình giới hạn bởi 0 x  đến 1 x  và 1 x  đến 2 x  chưa rõ ràng. Nếu xét phần tròn xoay khi xoay hình phẳng quanh trục Ox khi 0 x  đến 2 x  thì không có đáp án trong bài, đồng thời đề cho thêm đường thẳng 1 x  là không cần thiết. Do đó để bài toán có đáp án và rõ ràng hơn ta điều chỉnh đề như sau: Cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi đường 2 2 y x x   , trục hoành. Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi ( ) H khi quay ( ) H quanh trục Ox . Hình phẳng ( ) H giới hạn bởi 2 2 0 y x x y       . Ta có phương trình hoành độ giao điểm của 2 2 y x x   và 0 y  (trục hoành) là: 2 2 0 x x   0 2 x x       Khi đó thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi ( ) H khi quay ( ) H quanh trục Ox là: ( ) 2 2 2 0 2 d Ox V x x x     16 15   . Câu 109. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng ( ) H quanh trục Ox là : 2 3 3 3 2 6 5 4 0 0 1 1 2 81 d d 3 9 3 35 V x x x x x x x                        . Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là : 81 35 V   . Câu 110. 12 10 8 6 4 2 2 y 15 10 5 5 1 0 15 x y = 2x y = x^ 2 O 2 x y O 2 2 y x x   1 x  1 2CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 78 Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 2 0 2 2 x x x x        Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 0 0 0 (2 ) dx ( ) dx 4 dx dx Ox V x x x x             Câu 111. Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số ( ) 2 2 1 y x   và 2 1 y x   là ( ) 2 2 2 1 1 x x    1 x    . Lấy đối xứng đồ thị hàm số ( ) 2 2 1 y x   qua trục Ox ta được đồ thị hàm số ( ) 2 2 1 y x   . Ta có ( )   2 2 2 1 1 , 1;1 x x x       . Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là ( ) 1 2 2 1 64 2 1 15 V x dx            . Câu 112. Chọn B ( ) 1 2 4 4 2 2 2 0 0 0 tan x sin d tanx 1 1 4 t V xd x dt t                       Câu 113. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 y x   và trục hoành: 2 0 x   2 x   4 x   . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là: ( ) 9 2 4 2 d V x x     ( ) 9 4 4 4 d x x x      9 2 4 8 4 2 3 x x x x             81 16 64 11 72 36 16 2 2 3 6                       . Câu 114. Điều kiện xác định: 2 4 0 0 4 x x x      . Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 4 y x x   và trục hoành 2 4 0 x x   2 4 0 x x    0 4 x x       . Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình ( ) H quanh Ox là : ( ) 2 4 2 0 4 d V x x x     ( ) 4 2 0 4 d x x x     32 3   . 2 2 1 x y y=2(1-x 2 ) y=1-x 2 y=2 x 2 -1 ( ) 1 -1 OCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 79 Vậy thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình ( ) H quanh Ox là 32 3  . Câu 115. Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) H với trục hoành: 1 2 2 2 2 0 0         x x x x . Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra do ( ) H quay quanh Ox là: ( ) 2 2 2 0 2 .d V x x x     ( ) 2 2 3 4 0 4 4 .d x x x x      2 5 3 4 0 4 . 3 5             x x x  16 15  . Câu 116. Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( ) P và trục Ox : 2 0 2 0 2 x x x x         . Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 3 4 5 0 0 0 4 1 16 2 d 4 4 d 3 5 15 V x x x x x x x x x x                      . Câu 117. Xét phương trình 3 0 3 3 3 3 1 x x x x x                  . Xét hình ( ) H giới bởi đồ thị các hàm số ( ) 3 3 2 y x x       , ( ) 3 2 1 y x x      , 0 y  và 1 x  . Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm chính bằng thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay quanh hình ( ) H quanh trục Ox . Do đó ( ) 2 1 2 2 3 2 43 3 d 3 d 2 V x x x x                    . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 80 Câu 118. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f x  và trục hoành là nghiệm của phương trình 2 . 0 0. x x e x    Khi đó thể tích của khối tròn xoay được tạo thành là: ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 . d d d(2 ) ( 1) 0 4 4 4 x x x x V x e x xe x e x e e               . Câu 119. Diện tích thiết diện là ( ) ( ) 2 2 1 x S x x e   . Thể tích của vật thể ( ) T là ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 1 x V S x dx x e dx      . ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 9 1 1 1 1 1 2 2 2 2 x x x x e x V x e x e dx e e dx                    2 4 4 4 2 4 4 0 9 1 3 1 1 1 1 13 1 3 2 2 4 4 4 4 x e e e e e e           . Câu 120. Phần chung của hai khối cầu tạo bởi ( ) ( ) 1 2 , S S là một khối tròn xoay, tương đương phần hình phẳng OAO  quay quanh trục OO  hay bằng hai lần phần mặt phẳng tạo bởi AHO  quay quanh trục OO  . Đặt hệ trục như hình khi đó phương trình đường tròn ( ) O là 2 2 2 9 9 x y y x      , điểm H có hoành độ bằng 3 2 ; O  có hoành độ là 3 nên thể tích : ( ) 2 3 2 3 2 9 V x dx      ( ) 3 2 3 2 45 9 8 x dx       . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 81 Câu 121. Phương trình hoành độ giao điểm 2 x x  0 0 1 1 x y x y            . Ta có đồ thị hai hàm số y x  và 2 y x  đều đối xứng qua Oy nên hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y x  và 2 y x  quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường x y  và x y  quay xung quanh trục Oy . Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là: 1 2 0 d V y y y     ( ) 1 2 0 d y y y     1 2 3 0 1 1 . 2 3 y y          6   . Câu 122. Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 3 4 3 9 x x x     ( ) 2 3 2 2 3 2 0 3 3 d 4 d 9 V x x x x                       ( ) 3 2 6 2 0 3 1 d 4 d 27 x x x x               2 3 7 3 0 3 1 . 4 27 7 3 x x x                   20 3 16 7 3             . 20, 7, 16, 3 a b c d      46 P a b c d       . Dạng 2.2 Bài toán có điều kiện Câu 123. Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là: 2 2 0 m x x m      Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là: 2 2 2 2 3 4 1 ( ) ( ) | 3 3 m m m m m m V m x dx m x x            Ta có: 1000 V   2 4 1000 3 m m     3 750 m   3 3 750 750 m     . Ta có 3 750 9,08  và 0 m  . Vậy có 18 giá trị nguyên của m. Câu 124. Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số ( ) ' y f x  ( ) ( ) 2 ' 3 1 f x x    . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 82 Khi đó ( ) ( ) 3 ' 3 f x f x dx x x C      . Điều kiện đồ thị hàm số ( ) f x tiếp xúc với đường thẳng 4 y  là: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 4 4 1 2 3 1 0 ' 0 x x C f x x C x f x                          suy ra ( ) ( ) 3 2 3 2 f x x x C    . + ( ) C Ox   hoành độ giao điểm là 2; 1 x x    . +Khi đó ( ) 1 2 3 2 2 729 3 2 35 V x x dx         . Câu 125. Ta có: 4 4 2 0 0 8 2 x V xdx        . Mà 1 1 2 4 V V V     . Gọi K là hình chiếu của M trên Ox , 4 , OK a KH a MK a      . Khi xoay tam giác OMH quanh Ox ta được khối tròn xoay là sự lắp ghép của hai khối nón sinh bởi các tam giác , OMK MHK , hai khối nón đó có cùng mặt đáy và có tổng chiều cao là 4 OH  nên thể tích của khối tròn xoay đó là ( ) 2 1 1 4 . .4. 3 3 a V a     , từ đó suy ra 3 a  . Câu 126. Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x    và in s y x  : sin x x    ( ) i s n 0 1 x x      . Ta thấy x   là một nghiệm của phương trình ( ) 1 . Xét hàm số ( ) ( ) in o s s 0, 1 f x x f x x x x c             . ( ) f x  đồng biến trên  nên x   là nghiệm duy nhất của phương trình ( ) 0 f x  . Cách 1: Xét hàm số ( ) ( ) in s , 0; g x x x x       . ( ) ( ) o 0, 0; 1 sx g x c x         , suy ra hàm số ( ) i s n g x x x     nghịch biến trên ( ) 0;  . ( ) ( ) ( ) 0; : s in i 0 s n x g x g x x                 ( ) sin 2 x x     . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 83 Do đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay ( ) D quanh trục hoành là thể tích của khối nón khi quay tam giác vuông OAB quanh trục hoành. 2 2 4 1 1 1 . . . . . 3 3 3 V OB OA         1 3 p   . Vậy 1 24 24. 8 3 p   . Cách 2: Từ ( ) 2 ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 d d V x x x x               ( ) 3 4 0 . 3 3 x        1 3 p   . Vậy 1 24 24. 8 3 p   . Câu 127. Ta có ( ) ( ) 4 2 2 1 0 8. .4 2 4 96 V y dy              3 3 2 4 .4 4 .2 2 64 3 3 V       Suy ra 1 2 3 2 V V  Câu 128. Dễ thấy ABCE là hình bình hành nên AE BC a   . Vậy ADE là tam giác đều. Có 3 2 a AH  . Xét hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Có phương trình 3 : 2 a CD y   ; 0, 2 D C x x a   ; ;0 2 a A       . Phương trình 3 : 3 2 a AD y x   . Vậy 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 3 3 3 3 2 3 .2 2 3 3 2 2 4 4 a a a a a a a V x a x ax                                     3 2 3 3 2 3 2 3 0 3 3 3 3 5 2 2 . 2 2 4 2 8 4 a a a a a a x x x a                  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 84 Cách 2: Thể tích khối tròn xoay được tạo ra theo đề bài là thể tích khối trụ có chiều cao 2a bán kính đáy bằng 3 2 a trừ đi thể tích hai khối nón cùng có chiều cao 2 a bán kính đáy 3 2 a . Vậy 2 2 3 3 1 3 5 . 2 2. . 2 3 2 2 4 a a a V a a                       Câu 129. Ta có ( ) 9 2 1 0 π d V x x    81 2  . Gọi H là hình chiếu của M lên trục Ox , đặt OH m  (với 0 9 m   ), ta có ( ) ; M m m , MH m  và 9 AH m   . Suy ra 2 2 2 1 1 π. . π. . 3 3 V MH OH MH AH   2 1 π. . 3 MH OA   3 π m . Theo giả thiết, ta có 1 2 2 V V  nên 81π 6 π 2 m   27 4 m  . Do đó 27 3 3 ; 4 2 M         . Từ đó ta có phương trình đường thẳng OM là 2 3 9 y x  . Diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) C và đường thẳng OM là 27 4 0 2 3 d 9 S x x x            27 4 2 0 2 3 3 9 x x x            27 3 16 . Dạng 3. Ứng dụng tích phân để giải bài toán chuyển động Dạng 3.1 Bài toán cho biết hàm số của vận tốc, quảng đường Câu 130. Chọn D Ta có ( ) .dt B v t a at C     , ( ) 0 0 0 B v C    ( ) B v t at   . Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là 25 2 0 1 13 dt 100 30 A S t t            25 3 2 0 1 13 375 300 60 2 t t           . Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây là 15 0 .dt B S at   2 15 0 225 2 2 at a   . Ta có 375 225 5 2 2 3 a a    . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là ( ) ( ) 5 15 .15 25 m/s 3 B v    . Câu 131. Chọn D Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì chất điểm B đi được 15 giây, chất điểm A đi được 18 giây. Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng ( ) d B v t a t at C     mà ( ) 0 0 B v  nên ( ) B v t at  . Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm B đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau. Do đó 18 15 2 0 0 1 58 225 d d 225 . 2 120 45 2 t t at t a a               Vậy, vận tốc của chất điểm B tại thời điểm đuổi kịp A bằng ( ) ( ) 2.15 30 / B v t m s   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 85 Câu 132. Chọn C Xét phương trình 5 10 0 2.      t t Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn. Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là ( ) 2 2 0 2 5 5 10 10 10 . 0 2               s t dt t t m Câu 133. Chọn C Quãng đường chất điểm A đi từ đầu đến khi B đuổi kịp là ( ) 15 2 0 1 59 96 150 75 S t t dt m           . Vận tốc của chất điểm B là ( ) B v t adt at C     . Tại thời điểm 3 t  vật B bắt đầu từ trạng thái nghỉ nên ( ) 3 0 3 B v C a     . Lại có quãng đường chất điểm B đi được đến khi gặp A là ( ) ( ) 15 15 2 2 3 3 3 3 72 2 at S at a dt at a m             . Vậy 4 72 96 3 a a    ( ) 2 / m s . Tại thời điểm đuổi kịp A thì vận tốc của B là ( ) ( ) 15 16 / B v m s  . Câu 134. Chọn A Thời gian tính từ khi A xuất phát đến khi bị B đuổi kịp là 15 giây, suy ra quãng đường đi được tới lúc đó là 15 0 ( )d v t t  15 2 0 1 11 d 180 18 t t t          15 3 2 0 1 11 540 36 t t         ( ) 75 m  . Vận tốc của chất điểm B là ( ) .d y t a t   . a t C   (C là hằng số); do B xuất phát từ trạng thái nghỉ nên có ( ) 0 0 y  0 C   ; Quãng đường của B từ khi xuất phát đến khi đuổi kịp A là 10 0 ( )d 75 y t t   10 0 . d 75 a t t    10 2 0 . 75 2 a t   50 75 a   3 2 a   Vậy có ( ) 3 2 t y t  ; suy ra vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng ( ) ( ) 10 15 / y m s  . Câu 135. Lời giải Chọn B Vận tốc của vật chuyển động là ( )       2 3 1 2 2 v s t t f t Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) f t trên đoạn     0 ; 6 Ta có ( ) ( )               3 1 2 0 4 0 ; 6 f t t f t t ( ) ( ) ( )    0 0 ; 4 2 4 ; 6 1 8 f f f Vậy vận tốc lớn nhất là ( ) 2 4 m / s . Câu 136. Khi ô tô dừng hẳn thì: ( ) ( ) 0 5 20 0 4 v t t t s        . Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được: ( ) ( ) 4 0 5 20 40 s t dt m      . Câu 137. Lấy mốc thời gian ( ) 0 t  là lúc đạp phanh. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 86 Khi ô tô dừng hẳn thì vận tốc ( ) 0 v t  , tức là ( ) 6 12 0 v t t     2 t   . Vậy từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường là ( ) 2 0 6 12 d t t    ( ) 2 2 0 3 12 12 t t     ( ) m . Câu 138. Chọn C Khi xe dừng hẳn thì ( ) 0 5 v t t    . Khi đó quảng đường xe đi được tính từ lúc bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là: ( ) 5 5 2 0 0 3 3 15 15 37,5 2 d t S t t t               m Vậy ta chọn đáp án C. Câu 139. Chọn B Lúc bắt đầu đạp phanh, ô tô có vận tốc 20 / m s ( ) 0 0 0 10 20 20 0 v t t t        Ô tô dừng hẳn khi đó vận tốc ( ) 1 1 1 0 20 10 0 2 v t t t       . Do đó ô tô di chuyển được thêm là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 20 10 20 5 20 t dt t t m      Câu 140. Ta có 2 10 0 5 t t       Thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây. Vậy trong 8 giây cuối cùng thì có 3 giây ô tô chuyển động với vận tốc 10 / m s và 5 giây chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) ( ) 2 10 / v t t m s    . Khi đó quãng đường ô tô di chuyển là ( ) 5 0 3.10 2 10 30 25 55 S t dt m         . Câu 141. - Tại thời điểm 6 t  vật đang chuyển động với vận tốc 0 v nên có 0 (6) v v  0 0 5 .6 15 2 a v a v        , suy ra 0 5 ( ) 15 2 v t t v     . - Gọi k là thời điểm vật dừng hẳn, vậy ta có ( ) 0 0 2 2 ( ) 0 . 15 6 5 5 v v k k v k        . - Tổng quãng đường vật đi được là 0 0 6 5 80 6. 15 2 k v t v dt             ( ) ( ) 2 0 0 6 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 5 80 6. . 15 4 5 80 6. ( 6 ) .( 6) 15( 6) 4 4 24 2 2 5 80 6. . 15. 4 25 5 5 5 36. 400 0 10 k v t v t t v k v k k v v v v v v v v v                                         Câu 142. Quãng đường ô tô đi được trong 5 ( ) s đầu là 5 5 2 1 0 0 7 d 7 87,5 2 t s t t     (mét). Phương trình vận tốc của ô tô khi người lái xe phát hiện chướng ngại vật là ( ) ( ) 2 35 35 v t t   (m/s). Khi xe dừng lại hẳn thì ( ) ( ) 2 0 35 35 0 1 v t t t       . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 87 Quãng đường ô tô đi được từ khi phanh gấp đến khi dừng lại hẳn là ( ) 1 2 0 35 35 d s t t    1 2 0 35 35 2 t t         17.5  (mét). Vậy quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là 1 2 s s s   87.5 17.5   105  (mét). Câu 143. ( ) 2 4 a t t t   ( ) ( ) 3 2 d 2 3 t v t a t t t C       ( ) C   . Mà ( ) 0 15 v C   ( ) 3 2 2 15 3 t v t t     . Vậy 3 3 2 0 2 15 d 69,75 m 3 t S t t            . Câu 144. ( ) ( ) 2 3 18 1 v t s t t t       . Dễ thấy hàm số ( ) v t là hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol với hệ số 3 0 a    . Do đó max v đạt tại đỉnh ( ) 3;28 I của parabol. Vậy Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất ( ) 3 s t  . Câu 145. Chọn gốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đi. Sau 5s ô tô đạt vận tốc là ( ) ( ) 5 35 m/s v  . Sau khi phanh vận tốc ô tô là ( ) ( ) 35 70 5 v t t    . Ô tô dừng tại thời điểm 5,5s t  . Quãng đường ô tô đi được là ( ) ( ) 5,5 5 0 5 7 d 35 70 5 d 96,25 m S t t t t            . Câu 146. Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật. Quãng đường xe đi được là: ( ) 12 1 1 0 d S v t t   12 0 2 d t t   12 2 0 t  ( ) 144 m  . Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn. Ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) 2 d 12 v t a t t c      . Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: ( ) ( ) ( ) 2 1 0 12 2.12 24 m/s v v    . 12.0 24 c     24 c   ( ) 2 12 24 v t t     . Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là nghiệm phương trình: 12 24 0 t    2 t   . Khi đó, quãng đường xe đi được là: ( ) 2 2 2 0 d S v t t   ( ) 2 0 12 24 d t t     ( ) ( ) 2 2 0 6 24 24 m t t     . Vậy tổng quãng đường xe đi được là: ( ) 1 2 168 m S S S    . Câu 147. Ta có: ( ) 0 16m/s A v  . Khi xe A dừng hẳn: ( ) 0 A v t  4s t   . Quãng đường từ lúc xe A hãm phanh đến lúc dừng hẳn là ( ) 4 0 16 4 d s t t    32 m  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 88 Do các xe phải cách nhau tối thiểu 1m để đảm bảo an toàn nên khi dừng lại ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là 33m . Câu 148. Ta có ( ) 0 10m/s v  và ( ) ( ) 0 d t v t a t t   ( ) 2 0 3 d t t t t    3 2 0 3 3 2 t t t         3 2 1 3 3 2 t t   . Quãng đường vật đi được là ( ) 6 0 d S v t t   6 3 2 0 1 3 d 3 2 t t t          6 4 3 0 1 1 12 2 t t         216 m  . Câu 149. Thời điểm máy bay đạt vận tốc ( ) 200 / m s là ( ) 2 10 200 10 200 10 20 t v t t t t t              Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là ( ) ( ) 10 3 10 2 0 0 2500 10 d 5 3 3 t s t t t t m             . Câu 150. Quãng đường chất điểm A đi từ đầu đến khi B đuổi kịp là ( ) 15 2 0 1 59 96 150 75 S t t dt m           . Vận tốc của chất điểm B là ( ) B v t adt at C     . Tại thời điểm 3 t  vật B bắt đầu từ trạng thái nghỉ nên ( ) 3 0 3 B v C a     . Lại có quãng đường chất điểm B đi được đến khi gặp A là ( ) ( ) 15 15 2 2 3 3 3 3 72 2 at S at a dt at a m             . Vậy 4 72 96 3 a a    ( ) 2 / m s . Tại thời điểm đuổi kịp A thì vận tốc của B là ( ) ( ) 15 16 / B v m s  . Câu 151. Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì chất điểm B đi được 15 giây, chất điểm A đi được 18 giây. Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng ( ) d B v t a t at C     mà ( ) 0 0 B v  nên ( ) B v t at  . Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi chất điểm B đuổi kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được bằng nhau. Do đó 18 15 2 0 0 1 58 225 d d 225 . 2 120 45 2 t t at t a a               Vậy, vận tốc của chất điểm B tại thời điểm đuổi kịp A bằng ( ) ( ) 2.15 30 / B v t m s   . Câu 152. ( ) ( ) 2 6 2 / a t t m s   ( ) ( ) 2 6 2 6 v t t dt t t C        Xe dừng và bắt đầu chuyển động nên khi 0 t  thì 0 0 v C    ( ) 2 6 v t t t    . ( ) 2 6 v t t t   là hàm số bậc 2 nên đạt GTLN khi ( ) 3 2 b t s a    Quảng đường xe đi trong 3 giây đầu là: ( ) 3 2 0 6 18 S t t dt m     . Dạng 3.2 Bài toán cho biết đồ thị của vận tốc, quảng đường Câu 153. Chọn A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 89 Gọi phương trình của parabol    2 v a t b t c ta có hệ như sau:                          4 5 4 2 9 4 5 2 2 4 c b a b c c b a a Với  1 t ta có  3 1 4 v . Vậy quãng đường vật chuyển động được là                3 2 0 1 1 21 ,5 83 5 31 25 9 5 4 4 4 12 s t t dt dt Câu 154. Chọn B Gọi parabol là ( ) 2 : P y ax bx c    . Từ hình vẽ ta có ( ) P đi qua ( ) 0; 0 O , ( ) 1; 0 A và điểm 1 ; 8 2 I       . Ta có hệ: 0 32 0 32 0 8 4 2 c a a b c b a b c c                         . Suy ra ( ) 2 : 32 32 P y x x    . Vậy quảng đường người đó đi được là ( ) 3 4 2 0 32 32 d 4,5 s x x x      (km). Câu 155. Chọn C Gọi ( ) 2 . v t a t bt c    . Đồ thị ( ) v t là một phần parabol có đỉnh ( ) 2;9 I và đi qua điểm ( ) 0;6 A nên 2 2 3 2 2 4 .2 .2 9 3 6 .0 .0 6 b a a a b c b c a b c                              . Tìm được ( ) 2 3 3 6 4 v t t t     Vậy 3 2 0 3 3 6 4 S t t dt             24,75 (km) Câu 156. Chọn B Gọi ( )    2 : P y ax b x c . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 90 Vì ( ) P qua ( ) 0 ; 0 O và có đỉnh ( ) 2 ; 9 I nên dễ tìm được phương trình là    2 9 9 4 y x x . Ngoài ra tại  3 x ta có  2 7 4 y Vậy quãng đuờng cần tìm là:              3 4 2 0 3 9 2 7 9 d d 2 7 ( ) 4 4 S x x x x k m . Câu 157. Chọn A + Vì Parabol đi qua O(0; 0) và có tọa độ đỉnh ( ) 3;9 I nên thiết lập được phương trình Parabol là ( ) ( )   2 : 6 ; 0;2 P y v t t t t       + Sau 2 giờ đầu thì hàm vận tốc có dạng là hàm bậc nhất 1 4 y t m   , dựa trên đồ thị ta thấy đi qua điểm có tọa độ ( ) 6;9 nên thế vào hàm số và tìm được 15 2 m  . Nên hàm vận tốc từ giờ thứ 2 đến giờ thứ 6 là 1 15 ; [2;6] 4 2 y t t     + Quảng đường vật đi được bằng tổng đoạn đường 2 giờ đầu và đoạn đường 4 giờ sau. ( ) ( ) 2 6 2 1 2 0 2 1 15 130 6 4 2 3 S S S t t dt t dt km                 Câu 158. Ta có 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ 1,5 0 ( )d S v t t    . Đồ thị ( ) v v t  đi qua gốc tọa độ nên ( ) v t có dạng 2 ( ) v t at bt   . Đồ thị ( ) v v t  có đỉnh là I(1;5) nên 2 2 5 1 ( ) 5 10 2 5 10 5 b b a a v t t t a a b b a b                             ( ) 1,5 2 0 45 5 10 d 5,63 8 S t t t       . Câu 159. Trước hết ta tìm công thức biểu thị vận tốc theo thời gian, giả sử ( ) 2 v t at bt c    . Khi đó dựa vào hình vẽ ta có hệ phương trình 2 0 1 1 8 2 2 0 c a b c a b c                           32 32 0 a b c           . Do đó quãng đường người đó đi được sau 45 phút là ( ) 45 60 2 0 32 32 4,5 S t t dt     ( ) km . Câu 160. Hàm biểu diễn vận tốc có dạng ( ) 2 v t at bt c    . Dựa vào đồ thị ta có: ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 c a b b v t t t a c a b c                            . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 91 Với ( ) 4 4 10 t v    (thỏa mãn). Từ đó ( ) ( ) 4 2 0 40 2 2 3 s t t dt km      . Dạng 4. Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế Dạng 4.1 Bài toán liên quan đến diện tích Câu 161. Chọn C Gọi phương trình chính tắc của elip ( ) E có dạng: 2 2 2 2 1 x y a b   Với 1 2 1 2 8 2 4 6 2 3 A A a a B B b b              ( ) 2 2 2 3 : 1 16 16 9 4 x y E y x        . Suy ra diên tích của hình elip là ( ) ( ) 2 . 12 m E S a b     . Vì MNPQ là hình chữ nhật và ( ) 3 3 ; 2 MQ M x E          2 2 1 3 3 1 12 2 3; ; 2 3; 16 4 2 2 x x M N                    Gọi 1 2 ; S S lần lượt là diện tích phần bị tô màu và không bị tô màu Ta có: ( ) 4 4 4sin 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 4. 16 d 3 16 d 4 6 3 m 4 x t S x x x x S              Suy ra: ( ) 1 2 8 6 3 E S S S      . Gọi T là tổng chi phí. Khi đó ta có ( ) ( ) 4 6 3 .100 8 6 3 .200 7.322.000 T        (đồng). Câu 162. x y 3 4 P Q N M B 1 A 2 B 2 A 1 O 1CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 92 elip có phương trình là: 2 2 1 16 25 x y   . Vì 5 3 2 4 2 5 3 2 N N N y MN x y              Diện tích phần tô đậm là 5 3 2 2 2 1 5 3 2 4 2 25 59, 21 ( ) 5 S y dy m      Diện tích elip là 2 .4.5 20 ( ) S m     Diện tích phần trắng là 2 2 1 3,622 ( ) S S S m    Tổng chi phí trang chí là: 59, 21.200000 3,622.100000 12204200 T đ    . Câu 163. Vì 4 ; 8 . AB dm BC dm   ( 2;4), A   B(2;4),C(2; 4), D( 2; 4)    . parabol là: 2 y x  hoặc 2 y x   Diện tích phần tô đậm là 2 2 2 1 0 32 4 ( ) 3 S x dx dm    Diện tích hình chữ nhật là 2 4.8 32 ( ) S m   Diện tích phần trắng là 2 2 1 32 64 32 ( ) 3 3 S S S dm      Tổng chi phí trang chí là: 32 64 .5000 .2500 .1000 106666667 3 3 T đ          Câu 164. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, ta có bán kính của đường tròn là 2 2 4 2 2 5 R    . Phương trình của nửa đường tròn ( ) C là: 2 2 2 20, 0 20 x y y y x       . Parabol ( ) P có đỉnh ( ) 0;0 O và đi qua điểm ( ) 2;4 nên có phương trình: 2 y x  . Diện tích phần tô màu là: 2 2 2 1 2 20 d 11,94 S x x x           ( ) 2 m . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 93 Diện tích phần không tô màu là: ( ) 2 2 1 1 . . 2 5 10 11,94 2 S S       ( ) 2 m . Số tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó là: ( ) 150000.11,94 100000. 10 11,94 3.738.593     . Câu 165. Chọn B Ta có phương trình đường tròn tâm gốc tọa độ và bán kính bằng ( ) 2 m 2 2 2 x y   . Tọa độ giao điểm của Parabol và đường tròn là nghiệm hệ 2 2 2 1 1, 1 2 1, 1 y x x y y x x y                   Diện tích vườn hoa là ( ) 2 1 2 1 3 10 d 6 2 2 1 x x S x          . số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu là 3 10 250000 6   π . Câu 166. Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Do elip có độ dài trục lớn 2 8 4 a a    , độ dài trục nhỏ 2 4 2 b b    . Diện tích của ( ) E là: ( ) 8 E S ab     . Phương trình chính tắc ( ) E là: 2 2 1 16 4 x y   . Suy ra 2 1 16 2 y x    . Ta có 2 2 2 3 c a b    ( ) 2 2 3; 0 F  . Do N và 2 F có cùng hoành độ  ( ) 2 3; 1 N . Gọi ( ) 2 : P y kx  là parabol nằm ở phía trên trục Ox . Do ( ) N P  ta có ( ) 2 1 1 2 3 12 k k    . Suy ra ( ) 2 1 : 12 P y x  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 94 Diện tích phần A là 2 3 2 2 2 3 1 1 16 d 2 12 A S x x x            2 3 2 2 0 1 1 2 16 d 2 12 x x x           2 3 2 3 2 2 0 0 1 16 d d 6 x x x x      . * Xét 2 3 2 1 0 16 d I x x    . Đặt 4sin d 4cos d x t x t t    . Đổi cận: Khi đó 3 2 1 0 16 16sin .4cos d I t t t     3 2 0 16 cos d t t    ( ) 3 0 8 1 cos2 d t t     3 0 1 8 sin 2 2 t t          3 8 3 4            . * Ta có 2 3 2 2 0 1 d 6 I x x   2 3 3 0 1 18 x  4 3 3  . Suy ra: 1 2 8 2 3 3 A S I I      16 4 3 2 3 A B A S S S       . Tổng diện tích phần C , D là: C D S S   ( ) ( ) A B E S S S    8 4 3 3   . Khi đó tổng số tiền để hoàn thành vườn hoa trên là: 16 4 3 8 4 3 .250000 .150000 5676000 3 3       đ. Câu 167. Gọi , O I lần lượt là tâm của các đường tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính bằng 15 mét. Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ, vì 30 OI  mét nên ( ) 0; 30 I . Phương trình hai đường tròn lần lượt là 2 2 2 20 x y   và ( ) 2 2 2 30 15 x y    . Gọi , A B là các giao điểm của hai đường tròn đó. Tọa độ , A B là nghiệm của hệ ( ) 2 2 2 2 2 2 5 455 20 12 215 30 15 12 x x y x y y                      . Tổng diện tích hai đường tròn là ( ) 2 2 20 15 625     (mét vuông). Phần giao của hai hình tròn chính là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị 2 2 30 15 y x    và 2 2 20 y x   . Do đó diện tích phần giao giữa hai hình tròn là ( ) 5 455 12 2 2 2 2 5 455 12 20 15 30 d 60,2546 S x x x         (mét vuông). Số tiền để làm phần giao giữa hai hình tròn là 300.000x60,2546 18.076.386  (đồng). Số tiền để làm phần còn lại là ( ) 100.000 x 625 2 x 60,2546 184.299.220    (đồng). CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 95 Vậy tổng số tiền làm sân khấu là 184.299.220 18.076.386 202.375.606   (đồng). Câu 168. Gọi 1 O , 2 O lần lượt là tâm của hai đường tròn bán kính 20 m và 15 m. A , B là hai giao điểm của hai đường tròn. Ta có 1 1 20 m O A O B   ; 2 2 15 m O A O B   ; 1 2 30 m OO  .  2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 43 cos 2 . 48 O B O O O B BO O O B O O      1 2 26 23 BO O     . Theo tính chất hai đường tròn cắt nhau ta có 1 2 O O là tia phân giác  1 AO B   1 2 1 2 52,77 AO B O O B     . Suy ra diện tích hình quạt tròn 1 O AB là ( ) 1 2 2 52,77 .20 . 184,2 m 360 O AB S    .  ( ) 1 2 1 1 1 1 . .sin 159, 2 m 2 O AB S O A O B AO B    . Gọi 1 S là diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung  AmB trong đường tròn ( ) 1 O . ( ) 1 1 2 1 25 m O AB O AB S S S      . Chứng minh tương tự ta được diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung  AmB trong đường tròn ( ) 2 O là ( ) 2 2 35 m S  . Suy ra diện tích phần giao nhau là ( ) 2 1 2 60 m S S S    .  Chi phí làm sân khấu phần giao nhau 60.300000 18000000  (nghìn đồng). Tổng diện tích của hai hình tròn là ( ) 2 2 2 20 15 1963 m S       . Diện tích phần không giao nhau là ( ) 2 1903 m S S    . H B A I O y xCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 96  Chi phí làm sân khấu phần không giao nhau 1903.100000 190300000  (nghìn đồng). Số tiền làm mặt sân là 18000000 190000000 208300000   (nghìn đồng) 208,3  (triệu đồng). Câu 169. Gọi phương trình parabol ( ) 2 : P y ax bx c    . Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( ) P có đỉnh I Oy  (như hình vẽ). Ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 , 4 9 3 0 4 2 9 3 0 4 2 c I P a b c A P a b c B P                    9 4 1 0 c a b             . Vậy ( ) 2 9 : 4 P y x    . Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: 3 2 2 3 2 9 d 4 S x x            3 2 2 0 9 2 d 4 x x           9 3 4 0 9 2 3 4 x x          2 9 m 2  . Số tiền phải trả là: 1500000 675 0 9 . 2 000  đồng. 3 ;0 2 B       3 ;0 2 A        9 0; 4 I       O 1 1 1  2 y xCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 97 Câu 170. Diện tích miếng đất là 2 1 π 25π S R   (m 2 ). Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Ta có phương trình của đường tròn biên là 2 2 25 x y   . 5, 3 4 R AH OH     .  Phương trình của cung tròn nhỏ  AC là 2 25 y x   , với 4 5 x   .  Diện tích phần đất trống là 5 2 2 4 2 25 S x dx    (m 2 ).  Diện tích phần đất trồng cây là 5 2 1 2 4 25π 2 25 S S S x dx       .  Số tiền thu được là 5 2 4 100 100(25π 2 25 ) 7445 T S x dx       (nghìn đồng). Câu 171. Gọi phương trình của elip là 2 2 2 2 1 x y a b   . Theo giả thiết, ta có 2 100 50 a a    ; 2 80 40 b b    . Diện tích phần trồng cây con (phần gạch sọc) bằng 1 4 diện tích của elip trừ đi diện tích tam giác DOF . Do đó diện tích phần trồng cây con là ( ) 2 1 m 4 2 ab ab S    . Diện tích phần trồng rau (phần không gạch sọc) bằng 3 4 diện tích elip cộng với diện tích tam giác DOF . Do đó diện tích phần trồng rau là ( ) 2 2 3 m 4 2 ab ab S    . Thu nhập của cả mảnh vườn là 3 2000 4000 23991000 4 2 4 2 ab ab ab ab                     . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 98 Câu 172. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Phương trình Parabol có dạng 2 . y a x  ( ) P . ( ) P đi qua điểm có tọa độ ( ) 6; 18   suy ra: ( ) 2 1 18 . 6 2 a a       ( ) 2 1 : 2 P y x    . Từ hình vẽ ta có: 1 2 x AB CD x  . Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng 2 1 1 : 2 AB y x   là 1 2 2 1 1 0 1 1 2 d 2 2 x S x x x                  1 3 2 3 1 1 0 1 1 2 2 . 2 3 2 3 x x x x x           . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng CD 2 2 1 2 y x   là 2 2 2 2 2 0 1 1 2 d 2 2 x S x x x                  2 3 2 3 2 2 0 1 1 2 2 . 2 3 2 3 x x x x x           Từ giả thiết suy ra 3 3 2 1 2 1 2 2 S S x x    1 3 2 1 2 x x   . Vậy 1 3 2 1 2 x AB CD x   . Câu 173. Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là: ( ) 2 16 16 : 25 5 P y x x    . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 99 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) 2 16 16 : 25 5 P y x x    , trục hoành và các đường thẳng 0 x  , 5 x  là: 5 2 0 16 16 40 d 25 5 3 S x x x            . Tổng diện tích phần bị khoét đi: 1 160 4 3 S S   2 cm . Diện tích của hình vuông là: 2 100 cm hv S  . Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: 2 2 1 160 140 100 cm 3 3 hv S S S      . Câu 174. Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng 10 1 cm dm  ), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình 2 2 x y  , 2 2 x y   , 2 2 y x   , 2 2 y x  . Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 2 2 x y  , 2 y x  và hai đường thẳng 0; 2 x x   . Do đó diện tích một cánh hoa bằng 2 2 0 2 d 2 x x x         ( ) 2 3 3 0 2 2 2 3 6 x x           ( ) ( ) 2 2 4 400 dm cm 3 3   ( ) ( ) 2 2 4 400 dm cm 3 3   . Dạng 4.2 Bài toán liên quan đến thể tích Câu 175. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. . Gọi ( ) 2 1 1 1 : P y a x b   là Parabol đi qua hai điểm ( ) 19 ;0 , 0;2 2 A B       CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 100 Nên ta có hệ phương trình sau: 2 19 0 . 2 2 2 a b               1 1 8 361 2 a b          ( ) 2 1 8 : 2 361 P y x     . Gọi ( ) 2 2 2 2 : P y a x b   là Parabol đi qua hai điểm ( ) 5 10;0 , 0; 2 C D       Nên ta có hệ phương trình sau: ( ) 2 2 2 5 0 . 10 2 5 2 a b           2 2 1 40 5 2 a b            ( ) 2 2 1 5 : 40 2 P y x     . Ta có thể tích của bê tông là: 19 10 2 2 3 2 0 0 1 5 8 5.2 d 2 d 40m 40 2 361 V x x x x                            . Câu 176. Chọn B Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, A, B và I, phương trình của parabol có dạng 2 , 0 y ax b a    . Do I, A, B thuộc nên ta có 2 4 3 3 y x    Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là 3 2 2 0 4 6.2 ( 3) 36 3 V x dx      Câu 177. Thể tích săm xe bằng thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình tròn tâm ( ) 0;25 I bán kính bằng 5 quay quanh trục Ox . Ta có phương trình đường tròn là ( )   2 2 2 2 25 25 25 25 , 5;5 25 25 y x x y x y x                 . Vậy ( ) ( ) 5 5 5 2 2 2 2 2 5 5 5 . 25 25 d 25 25 d 100 . 25 d V x x x x x x                       . Ta có 5 2 5 25 d x x    là diện tích nửa hình tròn tâm ( ) 0;0 O , bán kính bằng 5 5 2 2 5 1 25 25 d . .5 2 2 x x         . Suy ra 5 2 5 25 100 . 25 d 100 . 2 V x x          2 3 1250 cm  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 101 Chú ý: Có thể bấm máy tích phân, ta được ( ) ( ) 5 5 2 2 2 2 3 5 5 25 25 d 25 25 d 3927 V x x x x cm                    . Kiểm tra các đáp án ta chọn đáp án A. Câu 178. Chọn B Ta gọi thể tích của chiếc mũ là V . Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng 10 OA  cm và đường cao 5 OO   cm là 1 V . Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong AB và hai trục tọa độ quanh trục Oy là 2 V . Ta có 1 2 V V V   2 1 5.10 500 V     ( ) 3 cm . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Do parabol có đỉnh A nên nó có phương trình dạng 2 ( ) : ( 10) P y a x   . Vì ( ) P qua điểm ( ) 0;20 B nên 1 5 a  . Do đó, ( ) ( ) 2 1 : 10 5 P y x   . Từ đó suy ra 10 5 x y   (do 10 x  ). Suy ra ( ) 20 2 2 0 8000 1000 10 5 dy 3000 3 3 V y                ( ) 3 cm . Do đó 1 2 1000 2500 500 3 3 V V V         ( ) 3 cm . Câu 179. Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ (trục hoành là trục của chiếc trống, gốc tọa độ là trung điểm của đường cao chiếc trống, đơn vị: dm). CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 102 Gọi ( ) E là elip có phương trình 2 2 1 16 9 x y   thì ảnh của ( ) E qua phép tịnh tiến theo vectơ ( ) 0;6 u  là elip ( ) E  có phương trình ( ) 2 2 6 1 16 9 y x    . Suy ra, phương trình của đường sinh là: 2 3 6 16 4 y x    . Do đó, thể tích của chiếc trống là: 2 4 2 4 3 6 16 d 344,964 4 V x x              ( ) 3 dm . Câu 180. Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích 1 V như hình vẽ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Nửa đường tròn đường kính AB có phương trình là 2 2 y R x   ,   ; x R R   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 103 Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm M có hoành độ x , cắt hình nêm theo thiết diện là MNP  vuông tại N và có  0 30 PMN  . Ta có 2 2 2 2 0 .tan 30 3 R x NM y R x NP MN        . MNP  có diện tích ( ) 2 2 1 1 . . 2 2 3 R x S x NM NP    . Thể tích hình nêm là ( ) 2 2 1 1 d d 2 3 R R R R R x V S x x x        3 2 3 1 1 2 3 3 9 2 3 R R R R x x           . * Chú ý: Có thể ghi nhớ công thức tính thể tích hình nêm: 2 3 1 2 2 tan 3 3 V R h R    , trong đó 2 AB R  ,  PMN   . Câu 181. Xét một thiết diện parabol có chiều cao là h và độ dài đáy 2 h và chọn hệ trục O x y như hình vẽ trên. Parabol ( ) P có phương trình ( ) ( ) 2 : , 0 P y a x h a    Có ( ) ( ) ; 0 B h P  2 0 a h h    ( ) 1 0 a d o h h     Diện tích S của thiết diện: 2 2 1 4 d x 3 h h h S x h h             , 2 3 5   h x ( ) 2 4 2 3 3 5 S x x          Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình: ( ) 2 5 5 0 0 4 2 dx 3 dx 28,888 3 5              V S x x ( ) 3 2 9 c m V   Câu 182. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 104 Gọi hình chiếu của , P Q trên AF và BE là R và S . Vật thể được chia thành hình lập phương . ABCD PQRS có cạnh 2,5cm , thể tích 3 1 125 8 V cm  và phần còn lại có thể tích 2 V . Khi đó thể tích vật thể 1 2 2 125 8 V V V V     . Đặt hệ trục Oxyz sao cho O trùng với F , Ox trùng với FA , Oy trùng với tia Fy song song với AD . Khi đó Parabol ( ) P có phương trình dạng 2 y ax  , đi qua điểm 5 1; 2 P       do đó 2 5 5 2 2 a y x    . Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox và đi qua điểm ( ),0 1 ;0;0 M x x   ta được thiết diện là hình chữ nhật MNHK có cạnh là 2 5 2  MN x và 5 2  MK do đó diện tích ( ) 2 25 4 S x x  Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có 1 2 2 0 25 25 4 12 V x dx    Từ đó 3 125 25 425 8 12 24 V cm    Câu 183. Đường elip có trục lớn 28 c m , trục nhỏ 25 c m có phương trình 2 2 1 25 2 y         2 2 2 2 25 1 2 14 x y                2 2 25 1 2 14 x y     . Do đó thể tích quả dưa là 2 14 2 2 14 25 1 2 14 x V x              d 2 2 14 2 2 14 25 1 2 14 d x x                  14 2 3 2 14 25 . 2 3.14 x x                 2 25 56 . 2 3         8750 3 3 c m   . Do đó tiền bán nước thu được là 8750 .20000 183259 3.1000   đồng. Câu 184. Parabol có phương trình 2 2 5 8 8 5 y x x y    CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 105 Thể tích tối đa cốc: 10 0 8 . 251,33 5 V y dy           . Câu 185. Cách 1. Xét thiết diện cắt cốc thủy tinh vuông góc với đường kính tại vị trí bất kỳ có: ( ) 2 2 2 2 1 . .tan 2 S x R x R x     ( ) ( ) 2 2 1 tan 2 S x R x     . Thể tích hình cái nêm là: ( ) 2 2 3 1 2 tan d tan 2 3 R R V R x x R        . Thể tích khối nước tạo thành khi nguyên cốc có hình dạng cái nêm nên 3 2 tan 3 kn V R   . 3 3 2 . 240cm 3 kn h V R R    . Cách 2. Dựng hệ trục tọa độ Oxyz Gọi ( ) S x là diện tích thiết diện do mặt phẳng có phương vuông góc với trục Ox với khối nước, mặt phẳng này cắt trục Ox tại điểm có hoành độ 0   h x . Gọi   , ,      IOJ FHN OE x 6 tan 10 IJ EF OJ OE     6 10 x EF   6 6 10 x HF    . 6 6 10 cos 1 6 10 x HF x HN       ; arccos 1 10          x ( ) ( ) 2 1 1 .2 . .sin 2 2 2       HMN hinhquat S x S S HN HM HN ( ) 2 2 1 6 arccos 1 .6.6.2 1 1 1 10 2 10 10 x x x S x                          O x E J H M N F I   x ( ) S x 10cm 12cmCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 106 ( ) 2 10 10 0 0 d 36arccos 1 36 1 1 1 d 240 10 10 10 x x x V S x x x                                      . Câu 186. Lời giải Do vật thể có đáy là đường tròn và khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox được thiết diện là tam giác đều do đó vật thể đối xứng qua mặt phẳng vuông góc với trục Oy tại điểm O . Cạnh của tam giác đều thiết diện là: 2 2 1 a x   . Diện tích tam giác thiết diện là: ( ) 2 2 3 1 3 4 a S x    . Thể tích khối cần tìm là: ( ) 1 1 1 3 2 0 0 0 4 3 2 2 3 1 2 3 3 3 x V Sdx x x               . Câu 187. Chọn hệ trục như hình vẽ Ta cần tìm diện tích của ( ) S x thiết diện. Gọi ( ) , d O MN x  ( ) 2 2 2 2 : 1. 75 45 x y E   Lúc đó 2 2 2 2 2 2 2 45 1 90 1 75 75 x x MN y            1-x 2 O xCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 107 2 2 2 2 2 2 90 90 . 1 . 1 75 2 75 2 2 MN x x R R              ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2025 2 . 1 . 4 2 4 2 2 75 x S x R R R                       Thể tích khoảng không cần tìm là ( ) 75 2 3 2 75 2025 2 . 1 115586 . 2 75 x V m              Câu 188. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Theo đề bài ta có phương trình của Elip là 2 2 1 1 4 4 25 x y   . Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip. Gọi 1 S là diện tích của Elip ta có 1 1 2 . 2 5 5 S ab       . Gọi 2 S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN . Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên ta có phương trình của đường thẳng MN là 1 5 y  . Mặt khác từ phương trình 2 2 1 1 4 4 25 x y   ta có 2 4 1 5 4 y x   . Do đường thẳng 1 5 y  cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là 3 4  và 3 4 nên 3 3 4 4 2 2 2 3 3 4 4 4 1 1 4 1 3 d d 5 4 5 5 4 10 S x x x x                   . Tính 3 4 2 3 4 1 d 4 I x x     . Đặt 1 1 sin d cos d 2 2 x t x t t    . Đổi cận: Khi 3 4 x   thì 3 t    ; Khi 3 4 x  thì 3 t   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 108 ( ) 3 3 2 3 3 1 1 1 1 2 3 . cos d 1 cos 2 d 2 2 8 8 3 2 I t t t t                       . Vậy 2 4 1 2 3 3 3 5 8 3 2 10 15 20 S                . Thể tích của dầu trong thùng là 3 .3 1,52 5 15 20 V               . Câu 189. Gọi x là thời điểm bơm được số nước bằng 3 4 độ sâu của bể ( x tính bằng giây ). Ta có: 3 0 1 3d 210 500 x t t    ( ) 4 3 0 3 3 105000 4 x t    3 3 ( 3) 3 3 3 140000 x x      ( ) 4 3 3 3 3 3 140000 x     ( ) 3 3 4 3 3 3 140000 x     ( ) 3 3 4 3 3 140000 3 x     7234,8256 x   . Câu 190. ( ) 3 2 0 6 2 d 90 at bt t     ( ) 3 3 2 0 2 90 at bt    54 9 90 a b   (1) ( ) 6 2 0 6 2 d 504 at bt t     ( ) 6 3 2 0 2 504 at bt    432 36 504 a b   (2) Từ (1), (2)  2 3 6 a b        . Sau khi bơm 9 giây thì thể tích nước trong bể là: ( ) 9 2 0 4 12 d V t t t    = ( ) 9 3 2 3 0 4 6 1458 3 t t m         . Dạng 5. Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán đại số Câu 191. Ta có ( ) ( ) ( ) 5 3 5 3 0 f x x f f      d , do đó ( ) ( ) 5 3 f f  . ( ) ( ) ( ) 3 0 3 0 0 f x x f f      d , do đó ( ) ( ) 3 0 f f  ( ) ( ) ( ) 5 0 5 0 0 f x x f f      d , do đó ( ) ( ) 5 0 f f  Câu 192. Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 1 g x f x x      ( ) ( ) 1 0 1 3 x g x f x x x              . Bảng biến thiên CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 109 Suy ra ( ) ( ) 3 1 g g   và ( ) ( ) 3 1 g g  . (1) Gọi 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: '( ), 1, 3, 1 y f x y x x x       Gọi 2 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1, '( ), 1, 3 y x y f x x x      Dựa vào hình vẽ, ta thấy: 1 2 0 S S   . Suy ra: 1 2 0 S S   ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 d 1 d 0 f x x x x f x x                     ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 d 1 d 0 f x x x f x x x                     ( ) ( ) 3 3 1 d 0 f x x x            . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 d 2 1 d 0 g g g x x f x x x                  (2) Từ (1) và (2) suy ra: ( ) ( ) ( ) 1 3 3 g g g    . Câu 193. Chọn D Ta có ( ) ( ) ( )             2 2 0 3 ; 1 ; 3 g x f x x g x x . Từ đồ thị của ( )   y f x ta có bảng biến thiên của hàm ( ) g x . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 110 Suy ra ( ) ( )  3 1 g g . Kết hợp với BBT ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )               1 3 3 3 3 1 1 1 d d d d g x x g x x g x x g x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )         3 1 3 1 3 3 g g g g g g Vậy ta có ( ) ( ) ( ) 3 3 1 g g g    . Câu 194. Chọn D Ta có ( ) ( ) ( )             ' 2 ' ; ' 0 2 ; 2 ; 4 . h x f x x h x x Bảng biến thiên Suy ra ( ) ( )  2 4 h h . Kết hợp với đồ thị hàm số y=x ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )            4 2 d 0 4 2 0 4 2 . h x x h h h h Vậy ta có ( ) ( ) ( )    2 4 2 h h h . Câu 195. Theo đồ thị, ta có: ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 d 0 f f f x x        ( ) ( ) 0 1 f f    ( ) 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 1 0 2 1 d d d 0 f f f x x f x x f x x               CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 111 ( ) ( ) 1 2 f f    ( ) 2 . Từ ( ) 1 và ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 f f f     . Câu 196. Chọn B Parabol 2    y ax bx c có đỉnh ( ) 2;1  I và đi qua điểm ( ) 3;0  nên ta có 2 2 1 2 4 2 1 4 4 3. 9 3 0 3                                  b a a a b c b y x x a b c c Do ( ) 3 0   f nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 1 2 1 3                        f f f f f f f f ( ) 1 0 1 2 0 1 3 ( )d ( )d 2 4 3 d               f x x f x x x x x ( ) 1 2 1 2 3 3 8 31 2 4 3 d 1 . 2 3 6              S S x x x Với 1 2 , S S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ),   y f x trục Ox và hai đường thẳng 1, 0    x x và 0, 1.   x x Dễ thấy 1 2 3 1; . 2   S S Câu 197. Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 g x f x x          ; ( ) 0 g x   ( ) 1 f x x     . Dựa vào đồ thị ta có các nghiệm sau: 1 3 5 x x x          . Ta có bảng biến thiên Ngoài ra dựa vào đồ thị ta có ( ) ( ) 3 5 1 3 1 1 d d 2 2 g x x g x x        ( ) ( ) 3 5 1 3 g x g x     ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 5 g g g g      ( ) ( ) 5 1 g g    . Vậy ( ) ( ) ( ) 3 5 1 g g g    . Câu 198. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 112 Theo bài ra ( ) 3 2 ( ) , , , , 0 y f x ax bx cx d a b c d a         do đó ( ) y f x   là hàm bậc hai có dạng ( ) 2 y f x a x b x c         . Dựa vào đồ thị ta có: 1 4 4 c a b c a b c                    3 0 1 a b c             ( ) 2 3 1 y f x x      . Gọi S là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x   , trục Ox , 4, x  2 x  . Ta có ( ) 4 2 2 3 1 dx 58 S x     . Lại có: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 dx 4 2 S f x f x f f       . Do đó: ( ) ( ) 4 2 58 H f f    . Câu 199. Gọi 1 S , 2 S , 3 S , 4 S lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x   với và trục hoành. Quan sát hình vẽ, ta có  ( ) ( ) 0 2 2 0 d d f x x f x x        ( ) ( ) 0 0 2 2 f x f x    ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 2 f f f f      ( ) ( ) 2 2 f f     ( ) ( ) 2 5 0 2 d d f x x f x x       ( ) ( ) 0 5 2 2 f x f x   ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 5 2 f f f f     ( ) ( ) 0 5 f f    ( ) ( ) 5 6 2 5 d d f x x f x x       ( ) ( ) 5 5 2 6 f x f x   CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 113 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 5 6 f f f f     ( ) ( ) 2 6 f f   Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có   ( ) ( ) 2;6 max 5 M f x f    và   ( ) ( ) 2;6 min 2 m f x f     Khi đó ( ) ( ) 5 2 T f f    .

mẹo hay

Bài toán ứng dụng tích phân loga.vn năm 2024

Bài giảng Giới hạn dãy số

Một số bài tập về quy tắc đếm

Tài liệu hàm số và hàm số bậc hai, sách Cánh diều

Tích vô hướng của hai vec tơ- Sách Cánh diều

Tổng hợp một số câu hỏi vận dụng trong đề thi thử lớp 12.

Hệ thống câu hỏi Hàm số lượng giác

Kế hoạch chi tiết theo tuần

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội