Dạng toán dùng đạo hàm tìm số nghiệm phương trình
|
Phần Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán lớp 12 sẽ tổng hợp Lý thuyết, các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 1000 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số tương ứng. Show
Tổng hợp lý thuyết Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
Các dạng bài tập
Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số
Chủ đề: Cực trị của hàm số
Chủ đề: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Chủ đề: Tiệm cận của đồ thị hàm số
Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Chủ đề: Tương giao của đồ thị hàm số
Chủ đề: Điểm thuộc đồ thị
Chủ đề: Nhận dạng đồ thị hàm số
Bài tập trắc nghiệm
Cách xét tính đơn điệu của hàm sốPhương pháp giải1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn. Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn. 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K. Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K. Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K. 4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định. Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận Ví dụ minh họaVí dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 - 6x2 + 9x -3 Hướng dẫn Tập xác định: D = R Ta có y' = 3x2 - 12x + 9 y' = 0 ⇔ Bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2) Hướng dẫn Tập xác định D = [0; 2] Ta có : y' = y' = 0 ⇔ x=1 Bảng biến thiên Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2) Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x) Hướng dẫn Hàm số xác định và liên tục trên D = R\{1}. Tìm y' = \> 0; ∀x ≠ 1. Bảng biến thiên: Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞). Cách tìm cực trị của hàm sốPhương pháp giải1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b). Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0. Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0. 2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0. Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). Minh họa bằng bảng biến thiến Chú ý. Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó. Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) . Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi. Ví dụ minh họaVí dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2. Hướng dẫn Tập xác định D = R. Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2. Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2. Hướng dẫn Tập xác định D = R. Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔. Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2. Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y = Hướng dẫn Tập xác định D = R\{2}. Tính Bảng biến thiên Vậy hàm số đã cho không có cực trị. Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: Kí hiệu: Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: Kí hiệu: 2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên Bước 1. Tính đạo hàm f'(x). Bước 2. Tìm các nghiệm của f'(x) và các điểm f'(x)trên K. Bước 3. Lập bảng biến thiên của f(x) trên K. Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận 3. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b] Bước 1. Tính đạo hàm f'(x). Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈[a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a; b] làm cho f'(x) không xác định. Bước 3.Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi). Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a; b) Bước 1. Tính đạo hàm f'(x). Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ (a; b) làm cho f'(x) không xác định. Bước 3. Tính Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). Ví dụ minh họaVí dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 2 trên đoạn [-2; 2]. Hướng dẫn Ta có: y' = 3x2 - 6x - 9 = 0 ⇔ Mà y(-2) = 0; y(2) = -20; y(-1) = 7. Suy ra Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Hướng dẫn Tập xác định: D = [-2; 2]. Ta có: Khi đó y' = 0 ⇔ Có y(√2) = 2√2, y(2) = 2 ,y(-2) = -2. Vậy Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - sin2x trên đoạn [π/2; π] Hướng dẫn Ta có y' = 1 - 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = 1/2 = cos π/3 ⇔ x = ±π/6 + kπ. Xét x ∈[(-π)/2; π] ta được x = ±π/6; x = 5π/6. f((-π)/2) = -π/2; f(π) = π; f((-π)/6) = -π/6 + √3/2; f(π/6) = π/6 - √3/2; f(5π/6) = 5π/6 + √3/2. Suy ra Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Săn SALE shopee tháng 12:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official |
