Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. \[\widehat A = {120^0},B{\rm{D}} = a\], cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng [SBC] và mặt phẳng đáy là 60°. Tính:
a] Đường cao của hình chóp.
b] Khoảng cách từ A đến mặt phẳng [SCB].
Lời giải chi tiết
a] Vì ABCD là hình thoi và \[\widehat {BA{\rm{D}}} = {120^0}\] nên ABC là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC thì \[BC \bot \left[ {AIS} \right]\].
Mặt khác SAI là tam giác vuông tại A nên \[\widehat {SIA}\] là góc giữa hai mặt phẳng [SBC] và mặt phẳng đáy [ABCD]. Theo giả thiết \[\widehat {SIA} = {60^0}\].
Ta có \[B{{\rm{D}}^2} + A{C^2} = 4{\rm{A}}{B^2}\].
mà AC = AB nên
\[AB = {{B{\rm{D}}} \over {\sqrt 3 }} = {a \over {\sqrt 3 }} \Rightarrow AI = {a \over {\sqrt 3 }}.{{\sqrt 3 } \over 2} = {a \over 2}\].
Vì \[SA \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right]\] nên SA là đường cao của hình chóp S.ABCD. Ta có :
\[SA = AI.\tan {60^0}\].
Vậy \[SA = {a \over 2}\sqrt 3 \].
b] Ta có \[BC \bot \left[ {SAI} \right]\], từ đó \[\left[ {SAI} \right] \bot \left[ {SBC} \right]\]. Vậy nếu kẻ đường cao AH của tam giác SAI thì AH là khoảng cách từ A đến mp[SBC]. Xét tam giác vuông SAI ta có:
\[AH = {{SA.AI} \over {SI}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}.{a \over 2}} \over {\sqrt {{{3{{\rm{a}}^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 4}} }} = {{a\sqrt 3 } \over 4}.\]
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng [SCB] bằng \[{{a\sqrt 3 } \over 4}\].