Đề bài
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\] với \[A[2 ; 3 ; 7]\] và \[B[4 ; 1 ; 3]\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi mặt phẳng \[[P]\] là mặt phẳng cần tìm. Khi đó mặt phẳng\[[P]\] đi qua trung điểm\[I\] của đoạn thẳng \[AB\] và vuông góc với \[AB\] hay\[[P]\] nhậnvecto\[\overrightarrow{AB}\] làm VTPT.
Sau đó ta áp dụng công thức dưới đây để lập phương trình:
Phương trình mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[M[x_0;\, \, y_0;\,\, z_0]\] và có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {a;\;b;\;c} \right]\] có dạng: \[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] + c\left[ {z - {z_0}} \right] = 0.\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 3\\
{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = 2\\
{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 5
\end{array} \right. \Rightarrow I\left[ {3;\;2;\;5} \right].\]
Khi đó mặt phẳng \[[P]\] cần lập đi qua \[I\] và nhận\[\overrightarrow{AB}\] làm VTPT.
Có \[\overrightarrow{AB}[2 ; -2; -4]\] và \[I[3 ; 2 ; 5]\] nên phương trình mặt phẳng \[[P]\] là:
\[2[x - 3] - 2[y - 2] - 4[z - 5] = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2x - 2y - 4z + 18 = 0\]
\[ \Leftrightarrow x -y -2z + 9 = 0.\]