Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho tứ diện có các đỉnh là \[A[5 ; 1 ; 3], B[1 ; 6 ; 2], C[5 ; 0 ; 4], D[4 ; 0 ; 6].\]
LG a
a] Hãy viết các phương trình mặt phẳng \[[ACD]\] và \[[BCD]\]
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[3\] điểm \[A, \, \, B\] và \[C\] có VTPT: \[\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right].\]
+]Phương trình mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[M[x_0;\, \, y_0;\,\, z_0]\] và có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {a;\;b;\;c} \right]\] có dạng: \[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] + c\left[ {z - {z_0}} \right] = 0.\]
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \[[ADC]\] đi qua \[A[5 ; 1 ; 3]\] và chứa giá của các vectơ\[\overrightarrow{AC}[0 ; -1 ; 1]\] và\[\overrightarrow{AD}[-1 ; -1 ; 3]\].
Ta có:: \[\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ]\] \[ = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\3&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right]\] \[= [-2 ; -1 ; -1].\]
Chọn \[\overrightarrow {{n_{\left[ {ACD} \right]}}} =[2;1;1]\].
Phương trình \[[ACD]\] có dạng: \[2[x - 5] + [y - 1] + [z - 3] = 0\] hay \[2x + y + z - 14 = 0\].
Tương tự ta có :\[\overrightarrow{BC}[4 ; -6 ; 2]\],\[\overrightarrow{BD}[3 ; -6 ; 4]\] và
\[\left [\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right ]\]
\[= [-12 ; -10 ; -6]=-2[6; 5; 3].\]
Chọn \[\overrightarrow{n_{[BCD]}}=[6;5;3]\] là VTPT của mặt phẳng \[[BCD]\].
Phương trình mặt phẳng \[[BCD]\] có dạng: \[6[x - 1] + 5[y - 6] +3[z - 2] = 0\] hay \[6x + 5y + 3z - 42 = 0\].
LG b
b] Hãy viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] đi qua cạnh \[AB\] và song song với cạnh \[CD\].
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \[[α ]\] qua cạnh \[AB\] và song song với \[CD\] thì \[[α ]\] qua \[A\] và nhận \[\overrightarrow{AB} [-4 ; 5 ; -1]\] ,\[\overrightarrow{CD}[-1 ; 0 ; 2]\] làm vectơ chỉ phương.
VTPT của mặt phẳng \[[α]: \overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] \] \[= \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\0&2\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 4}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&5\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right]\] \[= [10 ; 9 ; 5].\]
Phương trình mặt phẳng \[[α ]\] có dạng : \[10\left[ {x - 5} \right] + 9\left[ {y - 1} \right] + 5\left[ {z - 3} \right] = 0\] hay \[10x + 9y + 5z - 74 = 0\].