Đề bài
Cho đường tròn [C] tâm \[{F_1}\], bán kính R và một điểm \[{F_2}\]ở ngoài [C]. Chứng minh rằng tập hợp tâm các đường tròn đi qua \[{F_2}\], tiếp xúc với [C] là một đường hypebol. Viết phương trình chính tắc của hypebol đó.
Lời giải chi tiết
Gọi M là tâm đường tròn [C'] đi qua \[{F_2}\]và tiếp xúc với [C]
+] Nếu [C'] tiếp xúc ngoài với [C] thì \[MF_1 - MF_2 = R\]
+] Nếu [C'] tiếp xúc trong với [C] thì \[MF_2 - MF_1 = R\]
Do đó \[|M{F_1} - M{F_2}| = R = 2a\]
Vậy tập hợp các điểm M là đường hypebol [H] có \[a = {R \over 2},c = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\]
\[ \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {{{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} \over 4}\]
Phương trình chính tắc của [H] là:
\[{{{x^2}} \over {{{\left[ {{R \over 2}} \right]}^2}}} - {{{y^2}} \over {{{\left[ {{{\sqrt {{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} } \over 2}} \right]}^2}}} = 1.\]