Đề bài
Giải và biện luận hệ bất phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}1 + mx > 0\\x - 2 \le 0\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
Ta có \[\left[ I \right]\left\{ \begin{array}{l}1 + mx > 0\\x - 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx > - 1\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\x \le 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array} \right.\]
Gọi tập nghiệm của [1] và [2] lần lượt là \[{S_1}\] và \[{S_2}\]. Khi đó \[{S_2} = \left[ { - \infty ;2} \right]\]
- Nếu \[m = 0\] thì \[{S_1} = \emptyset \] nên hệ [I] vô nghiệm: \[S = \emptyset \].
- Nếu \[m > 0\] thì \[{S_1} = \left[ { - \dfrac{1}{m}; + \infty } \right]\] và \[ - \dfrac{1}{m} < 2\], nên tập nghiệm của hệ [I] là \[S = \left[ { - \dfrac{1}{m};2} \right]\].
- Nếu \[m < 0\] thì \[{S_1} = \left[ { - \infty ; - \dfrac{1}{m}} \right],\] ta cần phải so sánh \[ - \dfrac{1}{m}\] với 2.
+ Nếu \[m \le - \dfrac{1}{2}\] thì \[ - \dfrac{1}{m} \le 2\], nên \[S = \left[ { - \infty ; - \dfrac{1}{m}} \right].\]
+ Nếu \[m > - \dfrac{1}{2}\] thì \[ - \dfrac{1}{m} > 2\], nên \[S = \left[ { - \infty ;2} \right].\]