Đề bài
Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A1D1của hình hộp ABCD.A1B1C1D1.
a] Xác định giao điểm P và Q của mặt phẳng [CMN] với các đường thẳng B1C1và DB1.
b] Hãy biểu thị các vectơ \[\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AQ} \] qua các vectơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] trong đó \[\overrightarrow b = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow c = \overrightarrow {A{\rm{D}}} ,\overrightarrow a = \overrightarrow {A{A_1}} \].
Lời giải chi tiết
a] Đặt \[\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \].
P là giao điểm của mp[CMN] với đường thẳng B1C1khi và chỉ khi C, M, N, P thuộc một mặt phẳng và P thuộc đường thẳng B1C1.
Ta có các điểm M, N, C, P thuộc một mặt phẳng nên tồn tại các số x, y, z sao cho:
\[x + y + z = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ * \right]\]
và \[\overrightarrow {AP} = x\overrightarrow {AM} + y\overrightarrow {AN} + z\overrightarrow {AC.} \]
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AP} = x.{{\overrightarrow b } \over 2} + y\left[ {\overrightarrow a + {{\overrightarrow c } \over 2}} \right] + z\left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right] \cr & = y\overrightarrow a + \left[ {{x \over 2} + z} \right]\overrightarrow b + \left[ {{y \over 2} + z} \right]\overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr} \]
Vì P thuộc đường thẳng B1C1nên \[\overrightarrow {{B_1}P} = t\overrightarrow {{B_1}{C_1}} \], từ đó \[\overrightarrow {AP} = \overrightarrow b + \overrightarrow a +t \overrightarrow c \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1], [2] và do \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] không đồng phẳng nên
\[\left\{ \matrix{ y = 1 \hfill \cr {x \over 2} + z = 1 \hfill \cr {y \over 2} + z = t \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {**} \right]\]
Kết hợp [*] và [**], ta có:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ y = 1 \hfill \cr {x \over 2} + z = 1 \hfill \cr {y \over 2} + z = t \hfill \cr x + y + z = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow z = - x \Rightarrow {x \over 2} - x = 1 \Leftrightarrow x = - 2 \cr & \Rightarrow z = 2,t = {5 \over 2} \cr} \]
Vậy giao điểm của mp[CMN] với đường thẳng B1C1là điểm P xác định bời
\[\overrightarrow {{B_1}P} = {5 \over 2}\overrightarrow {{B_1}{C_1}} \] .
Tương tự như trên, nếu gọi Q là giao điểm của mp[CMN] với đường thẳng B1D thì ta có \[x + y + z = 1\].
và
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AQ} = x\overrightarrow {AM} + y\overrightarrow {AN} + z\overrightarrow {AC} \cr & = y\overrightarrow a + \left[ {{x \over 2} + z} \right]\overrightarrow b + \left[ {{y \over 2} + z} \right]\overrightarrow c \cr} \]
Mặt khác
\[\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow b + \overrightarrow a + t\overrightarrow {{B_1}D}\]
\[ = \overrightarrow a + \overrightarrow b + t\left[ { - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right]\]
\[= \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow a + \left[ {1 - t} \right]\overrightarrow b + t\overrightarrow c\]
Ta có hệ phương trình sau:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ y = 1 - t \hfill \cr {x \over 2} + z = 1 - t \hfill \cr {y \over 2} + z = t \hfill \cr x + y + z = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x \over 2} - y + z = 0 \hfill \cr x + y + z = 1 \hfill \cr {x \over 2} + {y \over 2} + 2{\rm{z}} = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow 1 - z = 2 - 4{\rm{z}} \Leftrightarrow z = {1 \over 3} \cr & \Rightarrow x = {2 \over 9},y = {4 \over 9},t = {5 \over 9}. \cr} \]
Vậy giao điểm Q của đường thẳng B1D với mp[CMN] được xác định bởi
\[\overrightarrow {{B_1}Q} = {5 \over 9}\overrightarrow {{B_1}D} \]
b] Từ kết quả của câu a], ta có :
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AP} = \overrightarrow a + \overrightarrow b + {5 \over 2}\overrightarrow c \cr & \overrightarrow {AQ} = {4 \over 9}\overrightarrow a + {4 \over 9}\overrightarrow b + {5 \over 9}\overrightarrow c \cr} \].