Đề bài
Cho tam giác\[\displaystyleABC.\] Trên tia đối của tia\[\displaystyleBA\] lấy điểm\[\displaystyleD\] sao cho\[\displaystyleBD = BA.\] Trên cạnh\[\displaystyleBC\]lấy điểm\[\displaystyleE\]sao cho\[\displaystyleBE = {1 \over 3}BC\]. Gọi\[\displaystyleK\]là giao điểm của\[\displaystyleAE\]và\[\displaystyleCD.\]Chứng minh rằng\[\displaystyleDK = KC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất:Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \[\dfrac{2}{3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Lời giải chi tiết
Vì \[BA=BD\] [gt] nên\[\displaystyleACD\] có\[\displaystyleCB\] là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh\[\displaystyleC.\]
Mà \[\displaystyleE BC\] và\[\displaystyleBE = {1 \over 3}BC\][gt]
Suy ra:\[\displaystyleCE = {2 \over 3}CB\]nên\[\displaystyleE\] là trọng tâm của\[\displaystyleACD.\]
Mà \[E\in AK\], do đó\[\displaystyleAK\] là đường trung tuyến của\[\displaystyleACD\] xuất phát từ đỉnh\[\displaystyleA\] nên\[\displaystyleK\] là trung điểm của\[\displaystyleCD.\]
Vậy\[\displaystyleKD = KC.\]