- Bài 4.1
- Bài 4.2
- Bài 4.3
Bài 4.1
Cho tam giác \[ABC.\] Trên đường trung tuyến \[AM\] của tam giác đó, lấy hai điểm \[D, E\] sao cho \[AD = DE = EM.\] Gọi \[O\] là trung điểm của đoạn thẳng \[DE.\] Khi đó trọng tâm của tam giác \[ABC\] là:
[A] Điểm \[D\] [B] Điểm \[E\]
[C] Điểm \[O\] [D] Cả [A], [B], [C] đều sai
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất:Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \[\dfrac{2}{3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Lời giải chi tiết:
Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng \[\displaystyle {2 \over 3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó mà \[AD=DE=EM\] nên \[AE=\dfrac{2}{3}AM\], do đó \[E\] là trọng tâm của tam giác \[ABC.\]
Chọn [B].
Bài 4.2
Cho tam giác\[\displaystyle ABC,\]trên đường trung tuyến\[\displaystyle AD.\]Gọi\[\displaystyle G\]là điểm nằm giữa\[\displaystyle A\]và\[\displaystyle D\]sao cho \[\displaystyle {{AG} \over {A{\rm{D}}}} = {2 \over 3}\]. Tia\[\displaystyle BG\]cắt\[\displaystyle AC\] tại \[\displaystyle E,\] tia\[\displaystyle CG\]cắt\[\displaystyle AB\]tại\[\displaystyle F.\]Khẳng định nào sau đây sai?
\[\displaystyle \left[ A \right]{{BG} \over {EG}} = 2\]
\[\displaystyle \left[ B \right]{{FG} \over {CG}} = {2 \over 3}\]
[C]\[\displaystyle E\]là trung điểm của cạnh\[\displaystyle AC\]
[D]\[\displaystyle F\]là trung điểm của cạnh\[\displaystyle AB\]
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất:Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \[\displaystyle \dfrac{2}{3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Lời giải chi tiết:
Do ba đường trung tuyến của một tam giác quy đồng tại trọng tâm của tam giác và trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \[\displaystyle {2 \over 3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó nên từ giả thiết suy ra \[\displaystyle G\] là trọng tâm tam giác \[\displaystyle ABC\]
Vì \[G\]là trọng tâm tam giác \[\displaystyle ABC\] nên \[BE\] là đường trung tuyến, suy ra E là trung điểm cạnh AC và\[\displaystyle BG=\dfrac{2}{3} BE \Rightarrow \dfrac{BG}{EG} =2\]
Vì \[G\]là trọng tâm tam giác \[\displaystyle ABC\] nên \[\displaystyle CF\] là đường trung tuyến của tam giác \[\displaystyle ABC\], suy ra \[\displaystyle CG=\dfrac{2}{3} CF\] và \[F\] là trung điểm của cạnh AB.
Từ đó: \[\displaystyle FG=\dfrac{1}{3} CF\], suy ra \[\displaystyle FG=\dfrac{1}{2} CG\] hay \[\displaystyle \dfrac{FG}{CG}=\dfrac{1}{2}\]
Hay [B] sai.
Chọn\[\displaystyle \left[ B \right]{{FG} \over {CG}} = {2 \over 3}\]
Bài 4.3
Hai đoạn thẳng \[\displaystyle AB\]và\[\displaystyle CD\]cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Gọi\[\displaystyle E\]và\[\displaystyle F\]theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng\[\displaystyle AD\]và\[\displaystyle BD.\]Các đoạn thẳng\[\displaystyle CE\]và\[\displaystyle CF\]lần lượt cắt đoạn thẳng\[\displaystyle AB\]tại\[\displaystyle I, J.\]Chứng minh rằng: \[\displaystyle AI = IJ = JB.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất:Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \[\displaystyle \dfrac{2}{3}\]độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Lời giải chi tiết:
Gọi\[\displaystyle O\]là giao điểm của hai đoạn thẳng\[\displaystyle AB\]và\[\displaystyle CD.\]
\[ AO = OB\] và \[CO = OD.\]
+] \[ΔACD\] có hai đường trung tuyến \[AO, CE\] cắt nhau tại I
\[ I\] là trọng tâm \[ΔACD\]
Do đó: \[\displaystyle OI = {1 \over 3}AO,AI = {2 \over 3}AO\] [1] [tính chất trọng tâm]
+] \[ΔBCD\] có hai đường trung tuyến \[BO, CF\] cắt nhau tại J
\[ J\] là trọng tâm \[ΔBCD\]
Do đó: \[\displaystyle {\rm{OJ}} = {1 \over 3}BO,BJ = {2 \over 3}BO\] [2] [tính chất trọng tâm]
Từ [1], [2] và theo giả thiết\[\displaystyle AO = BO\], ta có:
\[\displaystyle {\rm{IJ}} = OI + {\rm{OJ}}= {1 \over 3}AO+{1 \over 3}BO\]\[\displaystyle ={1 \over 3}AO+{1 \over 3}AO\]\[=\displaystyle {2 \over 3}{\rm{AO = AI = BJ}}\]
Vậy\[\displaystyle AI = IJ = JB.\]